Moedertaal en wiskundetaal

hans freudentha l reken taal beschouwing moedertaal en wiskundetaal het geeft te denken dat het aantal regels van de wiskundetaal klein is en het zuiver spre ken van die taal zoveel moeite kost hans freudenthal medewerker van het iowo gaat in op de relatie moedertaal en wis kundetaal hun wederzijdse afhankelijkheid kan aanleiding zijn voor een gesprek tussen moedertaal en wiskundeleerkracht 1 2 3 hoort dit tot de moedertaal of tot de ke knikker de knikker is rood in vijf knik wiskundetaal hardop gelezen is het nederlands kers is de vijf geen eigenschap van de afzonder maar voor een franstalige een engelstalige een lijke knikker de knikker is vijf kan niet duitstalige zou het frans engels duits klinken maar van een verzameling knikkers jonge kin het kind leert de getallenrij althans een begin deren hebben er moeite mee ze moeten nog le stuk ervan en meestal ook simpele sommetjes in ren waar de vijf op slaat een bekend verschijn het kader van zijn moedertaal dat wil zeggen niet sel op de vraag hoeveel knikkers gaan ze tel anders dan woorden als tafel en zinnen als doe len en op de hernieuwde vraag hoeveel het er de deur dicht toch vertoont de getallenrij al dan zijn tellen ze opnieuw pas door resultatief vroeg de neiging een eigen leven binnen de moe te tellen tonen ze aan te hebben begrepen waar dertaal te leiden op zeker ogenblik meestal bij de vijf een eigenschap van is de overstap naar de grote school wordt de na de telrij is een buitenbeentje bij ieder getal velstreng doorgesneden tussen moedertaal en wis hoort een volgende en zodra je het systeem door kundetaal de wiskundetaal is geboren maar hebt kun je zelf bij elk getal zijn opvolger con dat betekent niet dat de boreling het zomaar zon strueren van dingen die je anders tegenkomt der de moeder kan stellen de afhankelijkheid van wat er om je heen gebeurt moet je telkens blijft voortduren trouwens een wederzijdse af weer opnieuw de naam leren een woord of een hankelijkheid hele volzin in t begin althans geleidelijk leer je de telrij is in alle talen voorzover mij bekend je wel zelf te redden door verbanden te leggen een buitenbeentje de telwoorden doen zich als maar die verbanden zijn zwak de constructiemid bijvoeglijke naamwoorden voor worden in som delen onzeker en onregelmatig de getallen la mige talen ook als zodanig geflecteerd in rode ten zich van een beginstuk afgezien met regel knikkers zegt rood iets over elke afzonderlij matig te construeren namen oproepen en de on 2 regelmatigheden in de gesproken taal vervallen geheel en al in schrift en druk de getallen vor men een vocabulaire dat je zelf kunt aanmaken en uitbreiden met de schriftelijke codering zet een proces van formaliseren in in de rekenles meteen veel in dringender en gestroomlijnder dan in de moeder taalles de natuurlijke talen zijn maar zwakjes geformaliseerd de taal van de telrij is zowat de eenvoudigste geheel geformaliseerde taal de re gels zijn verbluffend eenvoudig bij een geschre ven getal vind je het volgende door naar het meest rechtse cijfer te kijken en het volgens het recep t 04 1 2 3 4 536 37 8 9 te vervangen of als het een 9 mocht zijn de hele rits negens waarvan het deel uitmaakt door nul len te vervangen en op de eerste niet negen even tueel een slapende 0 de vorige regel toepassen zo gaat het verder in de rekentaal een vocabulai re dat wetmatig geconstrueerd is en bewerkingen die met eenvoudige regels beschreven zijn en die je als je ze door hebt kunt uitvoeren zonder er iets van te begrijpen algorithmen noem je zoiets ook algorithmen voor het cijferen voor percen ten voor breuken voor negatieve getallen voor machten voor logaritmen enzovoort wat mag wordt door syntactische regels vastgelegd zon der beroep op enige betekenis die voor formele talen trouwens niet eens vereist is ook natuurlijke talen kennen formele regels hij zijn eenmeisje mag niet in t nederlands om for met de wiskundetaal kunnen krijgen mele redenen hij is een meisje klinkt gek maar je kunt je situaties voorstellen waar het niet al t aal en co ntext leen correct nederlands maar zelfs inhoudelijk zinvol is taal is geen doel in zichzelf je spreekt en schrijft de natuurlijke talen kennen regels bij elkaar te omdat je iets te zeggen hebt woorden en zinnen veel en te vaag om op te noemen je begrijpt betekenen iets en worden dankzij en samen met nauwelijks hoe een kind die in luttele jaren onder hun betekenissen in leerprocessen verworven en de knie krijgt de regels van de wiskundetaal zijn waar het te pas komt toegepast natuurlijk kun je hierbij vergeleken klein van aantal maar het zui ook taaluitingen zonder betekenis van buiten le ver spreken van die taal kost de meesten zoniet ren maar het kost veel meer moeite het beklijft allen meer tijd en moeite dan bij de moedertaal niet en je hebt er niets aan een formele taal kun het geval is dit geeft te denken je los van elke betekenis hanteren als je hem eens formele talen vocabulaire syntax algorithmes een keer goed hebt geleerd en gememoriseerd kunnen als je ze beheerst onberispelijk func dat lukt uitstekend met zo n eenvoudige formele tioneren vooral als het een computer is die je taal als de getallenrij cijferen is ingewikkelder met zo n taal programmeert maar mensen en ze bij de breuken lukt het maar zowat de helft van ker ook kinderen zijn geen computers ze heb de leerlingen en bij de algebra valt er weer zo n ben heel andere functies dan alleen die van ge helft zoniet meer af programmeerd te kunnen worden en daar komen taal is geen doel in zichzelf zei ik om geleerd dan de moeilijkheden vandaan die ze op den duur te worden moet taal zinvol zijn zinvol als midde l 3 om met anderen en zichzelf te communiceren voorbeelde n losse taaluitingen holle kreten zijn niet zinvol tekst vraagt om context met drie knikkers en een voorbeeld om te laten zien wat de wiskunde nog twee erbij wordt 3 2 5 een zinvolle taal zich wel of niet kan permitteren neem de vol uiting tenminste als je ooit het winnen en verlie gende uitspraken zen van knikkers als zinvolle bezigheid hebt erva in de bus zaten bejaarde dames en kinderen ren met 25 kg schouderham en er nog 13 kg bij in de bus zaten bejaarde dames en here n besi ellen ben je op he randje van het zinvolle en beide naar de vorm gelijksoorig terwijl het in in een zwembad van 50 m lang 20 m breed e n houdelijk duidelijk is dat de eerste keer het bij 5 m diep kun je letterlijk maar ook overdrachte voeglijk naamwoord bejaard alleen op het eerste lijk verdrinken maar zelfs daar blijft het niet bij zelfstandig naamwoord slaat terwijl het de twee hoe hoger de leerling op de schoolladder klimt de keer allebei betreft des temeer verschaalt de wiskunde tot een taaltje nederlandse taal en wiskunde dat nergens voor schijnt te dienen dan nog hoger nederlandse taal en letterkunde op te mogen klimmen wie de klim lukt loopt de vormen een dergelijk geval hardop gelezen zul je kans van de wiskunde niet meer dan een taaltje te vermoedelijk een verschil in pauzes en intonaties hebben geleerd dat nergens toe dient dan als de opmerken maar gedrukt lijken ze formeel het gelegenheid zich voordoet aan een nieuwe ge zelfde en alleen via de inhoud kun je er een extra neratie te worden onderwezen structuur in aanbrengen geen opwekkend beeld maar dan ook overdre zolang je in de sfeer blijft van de mondelinge ven zwa rt geschilderd iedereen weet dat wiskun communicatie kun je ook in de wiskunde met de een machtig werktuig in onze strijd om het be middelen van pauzes en intonaties volstaan om je staan en begrip van de wereld is en voor velen bedoeling over te brengen veel meer dan een onbegrepen brabbeltaaltje zon vijf plus drie maal zeven der betekenis is iets anders da n wiskunde is meer dan taal of veeleer de wiskun vijf plus drie maal zeven de bezit een taal de wiskundetaal waarmee je ik heb eigenaardigheden van uitspraak hier wiskunde kunt meedelen aan anderen en aan je door stippeltjes trachten weer te geven maar zelf echt wiskunde is de inhoud die je meedeelt echt schriftelijk zou ik het in de vorm de taaluitingen betekenen iets de wiskunde be 5 3 x7 moeit zich bij voorkeur met inhouden die zich respectievelijk 5t 3 x 7 gemakkelijk laten schematiseren hetgeen van moeten doen waarbij ik volgens meneer van da de winsten en verliezen bij het knikkeren tot het ienwacht op antwoord het tweede paar haakjes gedrag van een kunstmaan toe door spelregels ook mag weglaten van mens of natuur wordt beheerst omdat het onder de verschillen tussen wiskundetaal en na schematiseerbaar is is het mathematiseerbaar tuurlijke talen vallen vooral de strikte interpunc met het weer en de economie waar zoveel on tieregels op ook de natuurlijke talen kennen in voorziene factoren het schematiseren bemoeilij terpuncties en interpunctieregels maar die zijn ken hebben we meer moeite en individueel men dan veelal arbitrair en conventioneel en vooral in selijk gedrag is maar in heel vage schema s te vat het nederlands trek je je er niet erg veel van aan te n in elk geval schieten ze wat structurerend vermo gegeven en gevraagde inhouden worden door gen betreft schromelijk tekort in de voorbeelden taalmiddelen medegedeeld aanvoegend vragend die ik gaf werd de formele structuur door de in of gebiedend hoe beter voor schematiseren vat houd gegarandeerd je leest en interpreteert taal baar des temeer formeel kan de taal zijn waarin uitingen zo dat ze zinvol lijken maa r dit geschiedt dat is dan de kracht van de wiskun 5 3 x 7 de gemakkelijk schematiseerbare inhouden in en5 3×7 wiskunde omzetten door middel van een wiskun zijn los van elke context beide even zinvol en je detaal die zo sterk geformaliseerd is dat je je er kunt de haakjes echt niet missen als je je bedoe op lange trajecten in kunt bewegen zonder er zin ling ondubbelzinnig wilt laten overkomen terwijl aan te verbinden om tenslo tte de uitkomst terug er geen behoefte is aan haakjes i n te vertalen naar de inhouden toe waar het om bejaarde dames en kinderen gaat 4 bejaarde dames en heren oplossingsmethode een algorithme waarin het of i n probleem vertaald wordt een averechtse toe nederlandse taal en wiskunde gepaste wiskunde waarvan ook zij bij wie ze aan nederlandse taal en letteren slaat geen baat hebben men streeft tegenwoordig en mocht de behoefte zich echt eens voordoen naar het onderwijzen van wiskunde in brede rij dan zou je geheel andere taalmiddelen kiezen om ke contexten jammergenoeg zijn er nogal wat te doen uitkomen wat je bedoelt in t engels is onderwijsgevenden die zich verplicht voelen deze er een befaamd voorbeel d taken voor hun leerlingen te vergemakkelijken pretty liitle girls schools door de contexten te ontleden in smalle stroken waar je naar gelang van de opbrekende haak en te verschralen voor mijn leerlingen is dat bre jes 17 verschillende betekenissen aan kunt hech de en rijke te moeilijk redeneren ze en ontne ten maar in de praktijk van de levende taal zal de men hun iets waar ze recht op hebben het be bedoelde betekenis of uit de context moeten blij schrijven en begrijpen van situaties in termen van ken of zou je je bedoeling in heel andere bewoor een geschakeerde moedertaal en het vertalen naar dingen moeten formuleren de wiskundetaal toe laat ik dit met een enkel voorbeeld toelichten vertalen naar de wiskundetaal toe een volwassene vertelt dat in de supermarkt in de middag gemiddeld meer publiek is dan in de och ik heb voor het karakterverschil tussen moeder tend een elfjarige vraagt wat gemiddeld bete taal en wiskundetaal dit voorbeeld gekozen om kent de volwassene neem eens bijvoorbeeld dat hier aan beide kanten een taak ligt zodra men 24 13 35 kun je die optellen goed en nu in het onderwijs meer nastreeft dan het commu door 3 dele n niceren in een taal te weten het doel de taal wel het gaat precies zo als de volwassene zelf het waarin men communiceert tot onderwerp van op school heeft geleerd buiten elke context ge analyse te maken deze bezigheid leidt tot wat middelden uitrekenen en precies zo als in men in de wiskunde formaliseren noemt het toetsen over gemiddelden wordt gesproken maar herzien en nieuw scheppen van taalmiddelen die gemiddeld heeft in de omgangstaal een geheel zich zo automatisch mogelijk laten hanteren andere functie dan in een kaal sommetje een het meest automatisch in de zogenaamde puur vagere functie uiteraard maar dan een die je eerst formele talen voor de vooruitgang van de wis in die context waar je omgangstaal spreekt be kunde is dit formaliseren een onmisbare voor grepen moet hebben alvorens het begrip te ma waarde voor het wiskunde onderwijs betekent thematiseren je kunt een lange en gevarieerde het klakkeloos en prematuur overnemen van de lijst van voorbeelden van gemiddeld in de om uitkomsten van dat formaliseren een gevaar dat gangstaal opmaken en als je die met de leerlingen trouwens al lang onderkend is de leerling wordt analyseert zal blijken dat er ook qua mathemati gedwongen iets na te apen dat hij niet begrijpt sering meer achter zit dan de simplistische regel wiskunde dient ergens voor echte wiskundepro van n getallen op te tellen en de som door n te blemen zijn zelden of nooit zo geformuleerd als delen de gemiddelde jaarlijkse alcohol consump men ze in boeken en examentoetsen vindt ze tie in nederland bepaal je niet door die van alle ontstaan in situaties die allereerst in de moeder individuen afzonderlijk bij elkaar op te tellen en taal worden verwoord in een moedertaaltekst door het aantal individuen te delen maar je be waaraan geschaafd moet worden waar je de gint direct bij het totale alcoholverbruik want essentialia uit moet halen die je moet vertalen in dat is het enige waar je vat op hebt trouwens wiskundige termen die je wiskundig bewerkt tot waarvoor bepaal je gemiddelden waarom praat je een uitkomst toe die je terug vertaalt naar de si over gemiddelden over de gemiddelde mens de tuatie waar je mee gestart bent modale werknemer ook dit zijn vragen die aller volgens een oude traditie wordt het toegepaste eerst in een brede en rijke context moeten wor rekenen geoefend met zogenaamde redactiesom den gesteld en beantwoord men die eertijds uitmondden in lopende water kranen die een bad vullen fietsers die elkaar tege v a ria b el e n moet rijden of inhalen werklieden die al dan niet samenwerken voor elk van die typen is er een typ eert h etg ee n i k tot nu toe te b e rd e b ra cht d e 5 wiskundetaal voldoende in haar verhouding tot driehoek abc wordt gesteld of bewezen wordt de moedertaal ik gebruikte af en toe het woord geacht voor elke driehoek abc te gelden a b c rekentaal een taal die althans haar vocabulaire zijn niet namen van dit punt en dat punt en nog met de moedertaal gemeen heeft maar een keer een punt ze zijn wat de wiskundige variabelen kwamen in mijn tekst losse letters voor noemt veelzinnige namen waarmee je naar ge n getallen op te tellen en de som ervan door n te lang het uitkomt soms dit object en soms dat delen kunt oproepen als definitie van het gemiddelde terwijl letters en ook de moede rt aal kent deze veelzinnige namen letterformu les toch een opvallend kenmerk van je kunt niet voor elke tafel elke kei elke muis de wiskundetaal heten te zijn ik had de n daar elk tijdstip elke plaats een nieuwe naam verzin straks kunnen omzeilen nen men spreekt van de tafel als er in de gegeven een aantal getallen optellen en door dit aantal de situatie maar een in aanmerking komt zijn het er len meer dan is het deze tafel en die tafel of de waarbij dan een aantal de plaats opeist van de groene tafel of de tafel waar de vaas op staat eerste n en dit aantal naar dezelfde n terugver en navenant is het met de andere voorbeelden ge wijst minder beknopt en minder exact dan in steld de amersfoo rt se kei de muis in de val de wiskundetaal eigenlijk was de formulering het nu dat telkens weer een andere betekenis van daarstraks ook maar ten dele wiskunde stijl heeft naar gelang van het ogenblik waarop ik het n getallen en de som ervan vertoont weer de uitspreek het hier en daar die naar gelang van zelfde vaagheid en het vage terugverwijzen dat we de plaats van de spreker van betekenis verande zonet bij aantal in plaats van n opmerkten re n echt wiskundig zou het moeten wezen de chaos van variabelen in de moedertaal heeft definitie gemiddelde van a a tot tegenhanger in de wiskundetaal een gestroom lijnd systeem tafel steen muis nu hier daar of nog degelijker veelzinnige namen die alleen maar voor tafels 1 n n i i 1 a i stenen muizen tijdstippen plaatsen dienst kun waar het e teken het sommeren van de ai van 1 nen doen en daartegenover a b c a b c tot n signaleert a p y enzovoo rt die voor alles en nog letters in de wiskunde zijn een erfenis van de moeten komen opdraven conventionele variabe griekse oudheid men kan zich een tijd voorstel len noem ik het namen waar je elke gewenste len toen meetkunde beoefend en medegedeeld betekenis aan mag hechten maar dan uiteraard werd met figuren in het zand en op de manier een en dezelfde zo vaak als ze in een zekere be van en dan verbind ik dit punt met dat punt en sloten tekst voorkomen neem er het midden van en laat vanuit dat mid een voorbeeld den een loodlijn neer op deze lijn daar zoiets wij leerden op school de vierkantswortel uit een heb ik demonstratieve taal genoemd demon getal is dat getal dat gekwadrateerd het oor stratief door de bitten en batten waarvan daar spionkelijkegetal oplevert straks dit aantal ook een voorbeeld was we hebben het alleen over niet negatieve getal voor mondelinge communicatie was dit een al len licht bruikbare methode die moest falen zodra een door al die verwijzingen een getal dat ge mededelingen moesten worden gefixeerd men tal oorspronkelijk getal moeilijk leesbaar en kwam toen op het idee de punten waarvan in de nog moeilijker te begrijpen zin figuren sprake was te nummeren en wel met de hetzelfde met conventionele variabelen letters van het alfabet die trouwens bij de grie x heet vierkantswortel uit a als x2 a ken ook dienst deden als cijfers men zette die nog korter met logische symbolen letters naast de punten waarvan ze als het ware x l a x 2 a de namen waren zoals op een landkaart naast ze kere zwarte vlek drukinkt het woord amster en nog beknopter in functionele taal waarbij dam kan zijn geplaatst maar de methode leverde het kwadrateren als een functie wordt opgevat meer op dan het plaatsen van namen op landkaar vierkantsworteltrekken is het inverse van kwa ten amsterdam op zo n landkaart is uniek drateren maar al hetgeen ten aanzien van de getekende het zijn niet meer dan trivialiteiten wat ik hie r 6 omtrent de verhouding van wiskundetaal en moe ik heb veeleer de syntactische kant uit gekeken dertaal heb uiteengezet gesneden koek voor wie de en in de titel moedertaal en wiskundetaal is het dagelijkse kost is onderwijs gaat er vaak aan zo n syntactisch element en juist in titels kan mank dat de leermeester voor de klas of als zo n voegwoord van alles wezen nevenschik leerboekschrijver zich niet voldoende realiseert kend tegenstellend ironisch en ga zo maar dat wat voor hem gesneden koek is voor de leer door ook synthetisch en dat zou je het liefste ling een onverteerbaar brok kan zijn willen synthetisch in de zin van opheffing van antithesen maar dan moet allereerst de antithese verbi n din g worden uitgewerkt en dat heb ik hier althans bij wijze van aanduiding trachten te doen maar behalve de kloof tussen leermeester en leer in het onderwijs is synthese een zaak van indivi ling die elkaar niet verstaan omdat ze verschillen duele activiteit de leerling zeker in het voort de talen spreken is er die tussen leermeesters die gezet onderwijs wordt geacht wat in verschil als vogels van diverse pluimage qua toonzetting lende lesuren uit verschillende bronnen op hem verschillen als het op taal aankomt een be afkomt niet in verschillende hokjes op te bergen langrijk maar niet het enige aspect van school en maar zo nauw als het kan onderling te relateren leven zou je de vakkencombinatie wiskunde het wordt hem niet gemakkelijk gemaakt maar moedertaal voor de toekomstige leraar ideaal het zou hem vergemakkelijkt kunnen worden als willen noemen ideaal ware het niet dat de leer althans aanzetten tot d ie synthese hogerop zou meesters van de toekomstige leraren ook weer vo den beginnen ik bedoel op het niveau van de gels van diverse pluimage zijn die hun best zou leermeesters die voor de klas of die achter het den moeten doen om elkaar te begeleiden en het bureau waar leerplannen en leerboeken ontstaan ergens misschien ook doen ontwikkeling van onderwijs in de klas of ach ik heb de verschillen tussen moedertaal en wis ter het bureau veronderstelt een attitude van kunde hier niet breed want het kan veel bre bewustmaking en gedachte experiment bewust der op een ongewone wijze uitgemeten niet making van die kloven tussen leerlingen onderling qua vocabulaire niet dat er in de wiskunde en leerlingen en leermeesters en leermeesters on geen grotere en kleinere helft bestaat niet van derling en het gedachte experiment van hun over wat het verschil is tussen een ruit in de wiskunde brugging een activiteit waarvoor geen blauw en een vensterruit tussen een vierhoek en een drukken zijn vierkant tussen de hoek die je meet en die waar in je moet gaan staan de moedertaalkundige aan een van mijn inmiddels overleden oud colle dacht van de wiskundeleraar blijft veelal bij kwes ga s slaakte na dertig jaren onderwijservaring de ties van vocabulaire bepaald en de wiskundetalige kreet elk jaar moet ik het ze opnieuw vertellen van de moedertaalleraar tot dat er telwoorden ze leren het nooit wat dit het was doet hier zijn onbepaalde en bepaalde hoofd en rangtel niet terzake maar een mathematisch linguis woorden terwijl er diep onder deze koppels heel tische analyse van de variabele ze zou het wel wat relevante wiskunde kan worden gedolven doen 7