Nachtmarathon. Vormgeving van de interactie

fred goffre e taal nachtmarath o n rekenen vormgeving van de interactie in het onderwijsleerproces is interactie van vitaal belang fred goffree heeft in onderstaand educatief ontwerp die interactie in een onderwijsleersituatie vorm gegeven de lezer kan er zelf ook aan deelnemen door middel van de bijgele verde kladblaadjes misschien inspireert het ontwerp om zelf zo n didactische dialoog te ontwer pen als uitbreiding van je ontwerp repertoire interacti e voor het wiskund ig handelen geleerd zijn maar al in de toepassi ngss ituaties gesta rt de ontwerpers van reken wiskundeonderwijs heb realite i t biedt d i verse situaties waarin reken ben zich in de loop der tijden op vele manieren wiskundige problemen ve rv at zijn om d i e op gepresenteerd dat er versch i llend over het te lossen moeten de gegeven situaties eerst vak en onderw i js werd gedacht kwam in hun verkend en daarna georganiseerd worden men ontwerpen tot uitdrukking zeer recent zijn die moet er belangrijke verbanden en structuur i n versch il len theoretisch in verband gebracht gaan zien en vervolgens bekende w i skundige met de achterliggende vis i es op wiskunde en inzichten en technieken toepassen of nog niet wiskundeonderwijs vele publ i kat i es getuigen bekende wiskunde zelf her u i tvir i den alleen daarvan door de eigen activiteit zo is de achterliggen rekenen en wiskunde zo heet het vak op de de theorie kan wiskunde tot persoonl i jk e i gen basi sschool sinds ko rt officieel kun je leren dom van de leerl i ng worden essentieel i s bo doordat een knappe leraar je vert elt wat en vendien dat de in voorgaande e rv aringen en hoe je moet doen somm i ge leraren ve rtellen het daarbij behorende denkwerk ontstane in er soms b i j waarom dat zb moet dit is in het tuitieve noties en i nformele aanpakken ook ko rt de gedachte achter educatieve ontwerpen mogen meedoen nu eens moeten ze aange voor w i skunde van mechani stische herkomst past worden dan weer worden ze aange er z ijn ook ontwerpers d i e zi ch tot de realisti scherpt dat is pas echt leren sche strom i ng rekenen z ij menen dat je het aanknopen bij eerder geconstrueerde ken rekenen w i skunde slechts kunt leren door het nis en het aansturen op het zelf construeren zelf te doen n iet achteraf als eerst de regels van kennis vormen de centrale aandachtspun 35 ten van ontwerpers van een realistische afgesloten opnieuw zouden er vermoedens signatuur geoppe rd wo rden n u va nuit h et ni e u we ge het moet duidelijk zijn dat het tot stand bren z ic h ts p unt en ee n n ie u we c y clus v an bew ij gen van dergelijke activiteiten zeer gebaat is z en zekerhe id tw ijfel e n t ege nvoorb eel d kon bij interactie tussen de beginners en expe rt s in beginnen het onderwijsleerproces door samen te spre w at la katos b esc h ree f i s ee n i dea le vorm van ken bij de wiskundige activiteit worden alle w iskundige discussie ideaal omdat diverse la pa rt ijen genoopt tot reflecteren dat is terug ter onvruchtbaar geb l eke n onde rde l e n n iet zijn zien op in beschouwing nemen van en voor opgenomen en ideaal omdat de deelnemers uitlopen op het handelen en het denken daar aan de discussie zich precies aan de w iskundi over door i nteractie wordt men bovendien ge g e m eth ode h i e l d en le ts wa t voor z o ver i k dwongen tot luisteren en meedenken met de weet in wer kelijkhei d n oo i t voork o m tl ander tot het inleven in de aanpak van ande ren en tot goed verwoorden van de eigen acti jan n ordgreen een zweeds ontwerper in het viteit de eigen constructies krijgen hierdoor domein van de wiskunde volgde lakatos op een speciaal karakter er wordt een didactisch de voet hij had even w el een didactische element aan toegevoegd en de noodzaak om d oelstelling e n restaureerde e en b es t aande produktief te worden is in de bedoelde inter k l a ssi eke l ee r ga n g voo r de in tr o du cti e en he t actieve situaties voortdurend aanwezig bew ijs va n een s te lli ng ove r priemgetallen dat zijn getallen als 2 3 5 7 11 13 17 die slecht s d eel baa r zijn do o r z ich ze l f e n het geta l vormgeving van de interacti e 1 de stellin g zegt dat e r on e in d ig v ee l priem get allen z ijn en a l voor h et beg in van o nze wat heeft de educatieve ontwerper voor wis j aa rtellin g is het bew ijs gel eve rd het vin den kund e op z ijn repertoi re om l eerlin ge n inte r ac van dit bewijs heeft niet zoveel voeten in de tief te laten participeren in de door hem be a a rde gehad a ls het onderwe r p da t la katos dachte onderwijsleersituatie koos m aar n ordg r een laat z ijn deeln em ers aan n o g be la ng ri jke r is d e v r aag wat hij z ij k an de discussie z e lf het terrein van de priemgetal doen om de kwaliteit van de interactie ten l en ve r ke nn e n ve rmoede ns u ite n e n t w ij fe l goede te bein vloed en zaa ien ove r de h o e v eel he i d v an d i e getall en bij het zoe ken naar een ant w oord op b eide interessante b ij k om st i ghei d voor on twe rpe rs is vragen komt men onder meer terecht bij wis een d i d actisc h e von d st er kom t n a me lij k in d e kundige dialogen ho e pr at e n w is ku n d igen d iscussie een autoriteit aa n het woo r d m et el k aar als ze v ol g e n s d e rege l e n van de a pro fessor e wa n ts to sa y somethin g kunst p ro b le m en o p losse n anders gez egd e li hes been extremely interesting to listen hoe ve rlop en de ge sp re kk en a ls ze i n bepaal d e to th e discussion between c and d 1 shall si t uaties p ro b l em en si g naleren deze o p lossen support c s firs t hypo th esis only a finite v ia w is kun d i ge m ethod en en d aar b ij nieu w e number of primes exist wis k unde ui tvin den niet het rat i one l e denken maar he t o v e r w ic ht laka to s beschreef zo n intera ctief p roce s in v a n deze pe rsoon b lij kt dan de w isk un dige d is pro ofs and refutations 2 het was beda cht a ls c u ssi e e n we llicht oo k h et de n ke n van d e ar een rationele reconstructie van wat ooit een ge lo ze l ez er te stur e n i n de ver kee rde rich deel van de w iskundige gemeenschap gedu tin g zoals late r bl ij kt ren d e lang ere tij d bezighiel d vermoedens over of nordgree n in zij n opzet de inte ra c tie t us een bepaa l de wetmatighe i d werden n aa r voren sen de diverse experts te doen oversl a an op g e brac ht e r werde n bew ijsvoerin gen uit ge de lezers geslaagd is v e rte lt hij ni et in het da cht w aa r g e e n s peld m e e r t ussen te k rij ge n genoemde artikel het ont werpen van de dia w as z o d at de ver mo ed ens tot ze kerheid w er loog had z o v ee l tij d gekos t d at hij a an het uit de n vervol ge ns ree s e r tw ij fel over de gevo n pro be ren ni et m eer toege kome n is t e n minste d en waarhed en om dat bijvoorb e eld iem a nd de dat denk i k nu wijs geworden bij het ont w er zaak ee ns v a n een totaa l ande r e kan t g in g be pen van onderstaande dialoog k ij ke n d i e twij fel werd o bjec t v a n n i eu we aandacht iemand vond een sprekend tegen in dat ontwerp de nachtmarathon 4 w ordt voorb eel d en daa rm e e w as de vo ri g e periode de di a loog g e b ruikt om aan d e interactie in de 36 onderwijsleersituatie vorm te geven het is kr ijgen omdat veel rekenwerk door de ontwer geen wiskundige dialoog in de zin van lakatos per al voorspeld kon worden maar er vallen of nordgreen er ligt geen wiskundige stelling ongetw ijfeld gaten aan ten grondslag maar twee personen met een ander zwak punt is te vinden in het feit een wiskund i ge instelling zijn aan het woord dat de beide gesprekspa rt ners uit de tekst niet over een krantebericht meer dan in nord van aanpak inz i cht of men ing veranderen door greens ontwerp wordt hier de lezer uitgedaagd wat de lezer op de lege notitieblaadjes schr ijft mee te denken om dat te kunnen moet er een tekst op papier dat weten linguisten ook goed geluisterd gelezen worden wie echt wel kan niet de werkelijkheid van een goed mee wil doen zal ook moeten rekenen n8reke gesprek verv angen ik ben dan ook zeer be nen uitrekenen en voorrekenen nieuwd of de lezers van moer in het on wat hier nog aan de interactie ontbreekt is de derstaande ontwerp de beoogde i nteractie te rechtstreekse respons van de gesprekspartners rugvinden daa rv oor moet je natuurl ijk we l op het rekenwerk van de lezer op enkele wat rekenen plaatsen is in de tekst enige feedback te ver de nachtmarathon lees de onderstaande woordenstrijd ga na w i e er nou e i genlijk gelijk heeft en vertel hoe het precies in elkaar zit x heb j e dat bericht in de zeister cou r ant gelezen over y laat ik je het uitleggen dat bad is denk ik 25 meter de na c htmarathon dat is aanstaande zaterdag in ze moeten dan in m ijn geval van 50 km 2000 baa n de ge is er je weet wel dat overdekte zwembad i n tj es maken en daar hebben ze twaa l f uur de tijd ze ist noo rd voor y ja i k heb het even oppe r vlakkig gezien beginnen ze niet om een uur of negen s avonds te zwemmen x prec ies en ze gaan door tot de volgende ochten d 9 00 uur de hele nacht zwemmen ze dan baantjes maar er hoeft steeds maar een lid van het zwem team in het water te liggen y w ie van de teams het verste komt in d i e nacht die krijgt de prijs in zo n hele nacht kun je een aardig eind zwemmen denk je niet ik schat wel een dikke vi jft ig kilometer x ben je nou helemaal zwemmen gaat in fe ite heel l angzaam ik denk dat ze niet veel verde r komen dan tien kilometer 50 l 50 oo 0 6a x o yx25 w o wo x rvo w vvv 37 x volgens m ij zit je daar he l emaal naast ken je d e wereld recordtijd voor de 100 meter schoolslag die is namelij k 1 01 65 voor mannen en 1 08 29 voor vrouwen 11984 je ziet dat jouw redene ri ng bij lan ge na niet klopt x 1 ki lometer dus in 0 8 uur hoeveel km is dat dan in 12 uur y wacht even dat wil ik zelf eens superhandig uitreke nen 10 x 0 8 8 2 x 8 4 8 4 12 zie je j ij komt op 15 uur uit x je moet dat ook heel anders benaderen kijk het x h e nu moet jij even op mij wachten hoe doe je dat bad is 25 meter lang vier baantjes is net zo veel als nee zeg even niets dat wil ik zelf even uitzoeken 4 x 25 meter dat is dus 100 meter neem je er daar dan 10 van dan heb je een kilometer dus 40 banen is een ki l ometer y je gaat me een beetje te vlug kun je t niet even voor me opschrijven y h eel g oed m aar wat zou t nu zijn 15 of 5 0 kilome ter d urf ie ero m te wedden x ben je weer bij m oe lang zwem je over een kilome ter aannemende dat je zo fit bent en blijft als een hoentje lopend moet je u itga a n van 5 km uu r d at is 1 km in 1 2 minuten het zwemmen gaat vast vier keer zo langzaam dat betekent 1 km in 3 minuten y ho ho nu kan ik je even niet volgen je gaat langza mer en je doet er dan ko rt er over maak met mij de kachel aan l x je hebt natuurlijk gel ijk ik vergiste me even je zwemt dus 1 km in 4 x 12 48 minuten om nu lekker te kunnen reke nen maak ik daar 0 8 uur van zie je dat y ja dat is niet zo moeilijk in te zien een uur heeft tens lotte 60 minuten maar ga verder 38 de discussianten komen er niet helemaal uit en beslui y ik begri j p wat je w il t nu maken we een tabel met ten dan maar om het krantebericht er nog eens bij te de s nelheden en dan kijken we hoever bijvoorbee ld pakken hieronder zie je het worden we er iets wijzer de zwemmer van sep i a na een half uur voorlag op van zie je de fout erin de rest zou je kunnen bedenken hoe die fout erin is gekomen x zie je wel je hebt het al door hoe komen we er nu achter wie het d ichtste bij de y maar toch had ik gel ijk je weet niet of misschien waarheid zit x of y de nummer een van sepia wel heel langzaam zwom we kunnen alleen maa r met de gemiddelden van alle reddingsbrigade ho zwemmers rekenen x daari n heb je inderdaad gel ij k maar zullen we het jeugd en nac iefbt a leob yatillll a 4nb y voor de aard i ghe i d toch even doen ik wed met je dat die zwemmers van sepia de 100 meter in minder dan e n e w ri pu e ow e mr 1 21 m i nuut zwommen a r uus n aw e e r n i eo m p ekwyo w4l i b pdt iaai onimo aw waau l et a nt nealv t ea ewy e r mraa ue ev y waarom wedden we ik weet zeker dat ze langer ara o a oa s a k w ra s w dan 1 21 m inuut over de 100 m deden o as rr ar aumsa um mo y nosa0 c l tltm w odt b ayu a jury w vr s vo t o dl p o u wme m iw sunm m r wm da a aw r f wi p a mb ilw m nt we ovmy wsy ernnm 1 f a wb deb wboah y wde 4 om pr m e mv yn o ty esi rr s eiai rt e a mr o wume m w ax a mar r i rpa m rr a in de zeister courant van maandag 23 maart komt men op de nachtmarathon terug eindelijk zullen we weten wie gelijk had x met 15 km of y met 50 maar met de gegevens die ongetwijfeld in het bericht van de sport redactie zijn opgenomen kunnen we ook alle voor gaande veronderstellingen over de snelheid van een zwemmer natrekken sepia prolongeert titel nachtmarathon zvrb r 6a 1 w w we g atimid m aoemyt l wm x ik wed niet met jou je l ijkt me te zeker van de zaak r wrr ewv va r wm u v m a wa ar i usi i rr m ir ammat eosc m a y r m m lw mms v bt multl cmo 1m or kme wtr vind je het goed dat we we even gebruik maken van rwu w l yrpm m gsimy o eg bl btwg om l oymktl b w r m a m ms dit eenvoudige rekenmachientje ja dan z ijn we er tia a a r w iae we cm s s vo vev ne m a o sm vaoo a e mw m ewe oo m m w e m w emm a em e mr zo maar uit let op we toetsen het volgende in ma l l a owom0 6 or i vr0 1e l cl o pp w2t a 4 12 x 60 459 tle rq m m mo pca m eqm w o e y lvm b w n pl u ay e0 y ho ho dat zie ik zo maar n i et leg eens uit wat dat m ayr 1 we w ers ntem m a pw m allemaal betekent x ik moet eerlijk toegeven dat jij er veel dichter bij zat ik heb blijkbaar de sne l heid van een zwemmer sterk onderschat heb je trouwens gezi en dat er f ik se ver sch i llen waren tussen de wi nnaar van de marathon en de anderen die zwemmers van sepia moeten al d irect een ontmoed i gende voorsprong genomen hebben y dat kun je natuurl ijk nooit weten als j e er niet zelf bijgeweest bent de krant zegt er tenminste geen woord over x nu val je me tegen je kunt het wel weten ga maar na de afstanden van vijf teams z i jn precies gegeven laten we ze maar even schematisch in een tabel zetten sepi a t ie l den haag utrecht 2 zvrb 45900 1 39700 1 38700 38300 3720 0 x begrepen in het venster lees ik af 1 568627 4 1 y a ha d us heb ik gelijk af geron d ko m en w e o p 1 57 minuut dat is d us b ijn a 2 m inuten 1 m in u ut 39 reddingskigade houdt jeugd en nachtmarathon zei s t de zei s ter vrijwillige reddingsbrigade de nachtmarathon wordt op heeft ond er auspicie n van het district centrum der zaterdag 2 l maart voorafgegaa n koninklijk e ne derl an d se bond tot het liedden v an door een jeugd zwem mara drenkelingen wed erom een nacht zwem marathon thon van s middags 16 00 tot s avonds 17 00 u ur georganiseerd in h e t overdekte zwembad me gei ser de jeugdmarathon is bedoe ld te zeis t en wel van zaterdag 21 maart op zondag 22 voor de jeugd tot 16 jaar die in m aart v an s avond s 9 00 tot s morgens 9 00 uur het bezit is van tenminste het nationale zwemdiploma o en wordt ingedeeld in drie leeftijds groepen v an elke deelnemende ploeg dient er constant een zwemmer in het water te zij n die na 5 minuten wordt afgelost door een volgende zwemmer in dit drie uren durende zwemfes tijn worden de banen geteld en na afloop zal blijken welke pl oeg de grootste afstand heeft afgelegd bij de nachtmarathon moe t tussen sta rt en fi n ish ook van elke ploeg constant een zwem mer in het water zijn die echter pas na een half uur wordt afge lost door een volgende zwem mer na 12 uren zwemmen zal blijken welke ploeg de meeste meters heeft gezwommen het startsein voor de nacht marathon zal gegeven worden door de heer drs th g p m ruys wethouder van de ge meente zeist sep ia prolong eert tit el nar htmarat hon 2 vrb van onze s port redac tie de pl oe g van zvrb werd gelei d door wim van zeist de reddingsz wembr i gade v an se pia dij k die zijn zwemmers om het half uur l iet ui t kr impen aan de ijssel heeft opn i euw de aflossen dat waren ad blom mirjam hofstro nachtzwemmarathon van de ze ister vrijwi ll i henk v ij ge hans vijge corine van de dolder ge redding sbrigade zvrb gewonnen de ge marti n van dorrestein en annem iek schudde mengde zwempl oeg van sepia zwom in twaalf beurs voor de winna ars waren er medaill es die u ren ee n afstand van 45 900 m eter vorig j aar u i tgerei kt werden door de heer c3lezen voorzit kwam de ploe g tot 43 100 me ter sepia had ter van het d istri ct centrum der koninklijke du idelijk veel wedstrijdzwemmers in de gel e nederlandse bond tot het redden van drenkelin d eren getuige he t grote versch il met de overige gen tea m s voor alle deelnemers waren er he rinnerings tlel werd tweed e met 39 7 00 meter den haag vaantjes voorafgaand aan de nachtmarathon derde met 38 700 meter utrecht 2 vierde met werd er een jeugdmarathon gehouden van drie 38 300 en zvrb legde beslag op de vijfde plaats uren die gewonnen werd door de p loeg van met 37 20 0 meter in totaal namen twintig ploe zvrb me t 8350 meter mij drecht werd tweede gen deel aan de marathon die zaterdagavond met 7900 meter en v ianen derde met 78 00 meter om negen uur na het startsein van wethouder er d eden elf ploegen mee voor ledere deelnemer th eo ruys begon en zondagmorgen om negen was er een vaantj e zvrb is van pl an v o lge nd uur eindigde j a ar w eer ee n nachtmarathon te organiseren 40 5 s econden want er gaan 60 seconden in een den 1 57 voor de honderd meter is t niet minuut y dat was t niet want we hadden afgerond als je nu toch een ander het vuile werk laat doen neem dan de precieze getallen dat was 1 5686274 minu ten per 100 meter x he dat is ve rv elend ik zou beter kunnen rekenen als i k w ist hoe ve e l meter er werd gezwommen in 1 mi nuut hoe kunnen we dat getal vinden van aantal minuten 100 meter dus van de maat tijd afstand kom je naar het omgekeerde aantal meters minuut door om te keren dat is nogal log i sch dus reken maar even uit 1 1 5686274 x dat is zo te zien 0 6375 wat betekent dit getal ook weer x je hebt nu wel gel i jk gekregen maar je moet geen onzin gaan verkopen 0 57 m i nuten is niet hetzelfde als 57 s econden als je in seconden wilt rekenen dan moet je doen 12 x 60 x 60 459 94 117647 zeg dat hier 94 12 seconden staat dat is hetzelfde a ls 1 m inuut en 34 12 seconden zoals je ziet i s dat ni et zovee l meer dan 1 21 minuut y m a a r we zouden een mooie tabel van het wedstr i jd ve rloop maken ik begin maar vast ioen sepi a tiet haag utr echt zvrd y precies niet 0 6375 meter per minuut want dat 5 m n zou wel heel traag zijn stel je voor ongeveer 60 c m 10 m n per minuut nee we waren uitgegaan van 100 me ter dus het antwoord is 63 75 meter per minuut n u 1 5 m n jij weer met je machien 30 min x ik doe het volgende 63 75 x x wat wil je weten y wel de afstand na 5 min x zegt direcy318 75 60 m n na 10 min 637 5 m na 15 min 9 6 25 na 60 m i n 3825 na 2 uur 76 5 7 ns 3 uur 11475 n a 2 uur 6 uu r 22950 na 9 uur 34425ren tenslotte na 1 2 3 u ur uur 45900 x hoera het dopt doe jij het nu maar zelf voor he t 6 uur langzaamste team 9 uur 12 uur x a ls je even wacht iaat ik het machientje het vui le werk doen sepia daarvoor hadden we net gevon noten 3 n ordg r een j e a plausi ble d ialo g ue in mathe matic teaching nr 1 02 en vo s e red educa zie on d er a n de re treffers a three d imensions tie f ontwe rpen 2 voorbee lde n reflecties analy d ordrecht rei de l 1 98 7 ses baarn 1 98 7 la k atos i proo fs and refutations th e logic of 4 eerder verschenen i n willem bartjes 7 mathematica discovery cambridge 1 9 7 6 1987 88 41