Taalaspecten van het wiskunde-onderwijs: dialogen

sieb kemme taalaspecten van het wiskunde onderwijs dialogen 1 inleiding er wordt heel wat afgekletst in een les tussen leerlingen onder ling maar ook tussen leraar en leerling ontwikkelen zich voortdu rend allerlei dialogen vaak is daarbij sprake van een confronta tie van de denkbeelden van twee partijen zoals bij klassieke dia logen het geval was je krijgt daarbij de indruk dat het leren zich aan de hand van dat soort dialogen ontwikkelt wat natuurlijk niet zo is er gebeurt veel meer dan door taal zichtbaar wordt vanuit pragmatische taaltheorieen zijn uitvoerige beschrijvingen en analyses gemaakt van gespreksituaties in de klas zie daarvoor bellack 1966 sinclair 1975 reiss 1982 ook heeft de socio linguistiek zich hier mee bezig gehouden zie stubbs 1976 appel 1976 de analyses hebben vooral tot doel het opsporen van intenties van en de invloeden op de taaldaden van leraar en leerlingen de vak inhoud van de geanalyseerde gesprekken speelt nauwelijks een rol je krijgt de indruk dat communicatie in de klas een door regels bepaald gedrag is waarvan de regels onafhankelijk zijn van de leerinhouden in dit artikel wil ik proberen de invloed van een aantal aspecten van de wiskunde aan te geven bij dialoogvormen in het onderwijs het name wil ik proberen aan te geven in hoeverre leerlinhouden de dialoog kunnen bepalen het is niet mijn bedoeling een volle dige theorie over de invloed van leerinhouden op gespreksvormen in de klas te ontwikkelen ik wil alleen door middel van een drie tal voorbeeldsituaties aangeven dat die invloed er is en wil ik in die situaties proberen te achterhalen hoe die invloed tot stand komt misschien wordt hierdoor een aanzet gegeven voor verder di dactisch onderzoek naar mogelijkheden en onmogelijkheden van de taal bij gespreksvormen in het wiskunde onderwijs 57 spiegel 1 1983 nr 3 57 76 2 verifieren hoe overtuig je je zelf ervan dat het regent door naar buiten te kijken of je hand uit het raam te steken of hoe weet je dat de aarde al miljoenen jaar oud is door een boek te lezen waarin duidelijk staat beschreven hoe je de ouderdom van fossielen kunt bepalen met de koolstof 14 methode of door dat on derzoek zelf te doen of hoe weet je dat morgen de zon weer opkomt omdat je denkt dat dat zo is of kennis ontleent haar zekerheid aan de manier waarop ze geveri fieerd kan worden voor wiskunde is het een norm dat die verifi caties aan zekere voorwaarden van objectiviteit en reproduceer baarheid voldoen zekerheid op basis van omdat ik vind dat het zo is zonder verdere toelichting wordt niet geaccepteerd de status van je kennis moet duidelijk zijn het kan zijn dat je hebt aangenomen dat iets zus of zo is bijvoorbeeld dat er door twee punten precies een rechte lijn gaat en dat je eigenlijk net zo goed iets anders had kunnen aannemen in het andere geval dien je duidelijk te maken waar je kennis vandaan komt en hoe je dat geve rifieerd hebt een scene in een brugklas 1 de leraar een hospitant wil duidelijk maken hoe je negatieve getallen op elkaar kunt delen eerst geeft hij een aantal voorbeelden met positieve getallen 10 2 5 want 5 2 10 5 en zelfs een formule a b c want c b a hij legt duidelijke nadruk op want net alsof hij wil zeggen dat je het niet anders kunt uitrekenen dan zo dan komen er negatieve breuken qp het bord 10 wat zou er uit komen de leerlingen roepen door elkaar 2 2 wie kiest er voor 2 een hele bos vingers 14 wie voor 2 15 een vinger als hij ziet dat hij de enige is gaat de vinger gauw weer naar beneden waarom 2 een leerling antwoordt twee minnetjes wordt plus een andere daarop twee plusjes wordt toch geen plus 20 gelach nog een andere twee negatieve samen zijn positief de leraar ik wil hier iets achter hebbdat ook hierboven staat en schrijft op het bord achter r 2 want 2 5 10 1q 25 nu verschijnt op het bord li 2 lr waarom 58 ll een negatief en een positief getal wordt een negatief getal 30 lr ja want 2 5 10 er komt nog een voorbeeld op het bord p ll 2 5 lr waarom ll 2 5 10 35 nadat de leerlingen een minuut of tien sommen hebben gemaakt over dit onderwerp vraagt de leraar weer even de aandacht let eens even op jammer ze waren get zo lekker bezig op het bord komt 40 ll o 5 lr waarom ll als je nifo hebt hou je niks op het bord eenstemmig o 45 lr maar nu ook op het bord er ontstaat geroezemoes de verschillende antwoorden vliegen door de klas o 5 5 kan niet er wordt gestemd voor o stemmen er tien drie zijn er voor 5 te vinden voor kan niet ook tien blijkbaar is 5 onder de horizon verdwenen 50 er zijn nogal wat niet stemmers een kan niet antwoord wordt beargumenteerd me je kunt niks van o aftrekken op het bord verschijnt o en daarnaast 5 lr als het o zou zijn zou 0 0 5 zijn als het 5 zou zijn 55 l l a 5 0 5 ll b o ja 5 0 5 ha hal lr z o u 0 5 5 moeten zijn dus delen door o kan niet 58 ll c kan wel als het onderste cijfer o is kan het niet o in deze scene komen ogenblikken voor waaruit te zien is dat leer lingen elkaar op allerlei manieren beinvleoden de jongen laat zijn hand weer zakken als hij ziet dat hij de enige is met het antwoord 2 15 16 eikaars antwoorden worden belachelijk gemaakt 19 20 56 er wordt gereageerd vanuit bestaande tradities 42 51 voordurend zijn er machtsconflictjes aan de orde en proberen leer lingen niet al te zeer uit de boot te vallen om erbij te blijven horen dat er ook leerlingen zijn die zich van dergelijke ver dachtmakingen niks aantrekken blijtk uit 21 en 28 het ver dachte regeltje komt gewoon weer terug in dergelijke dialogen spelen allerlei irrationele sociologisch bepaalde invloeden een rol die zich niet zo gemakkelijk met pragmatische taalregels laten beschrijven de leraar wil hier een nieuwe verificatieregel invoeren r c want c b a 59 daarmee wil hij uiteindelijk laten zien dat je niet door 0 kunt delen het is de vraag of hij zijn doel bereikt heeft uit de reacties van de leerlingen is dat niet op te maken het enige antwoord dat daar een aanwijzing voor zou kunnen zijn is 34 maar dat kan ook een imitatie zijn van 30 en berusten op een visuele analo gie in 22 wordt die analogie door de leraar expliciet gesugge reerd antwoord 50 heeft een concluderende functie de leerling formuleert voor zichzelf wanneer deling niet mogelijk is maar baseert die conclusie op uiterlijke kenmerken en niet op een redenering zoals door de leraar is gepresenteerd ook hieruit kun je niet afleiden of het doel bereikt is het fragment wordt gekenmerkt door een grote betrokkenheid en spontaniteit bij de leerlingen de leraar daagt dan ook uit en geeft er ruimte voor je kunt je afvragen of dat wel zo efficient is of je hetzelfde niet met minder inspanning in een kortere tijd kunt bereiken voor een analyse van de situatie is die vraag niet relevant en het is alleen maar een voordeel dat er zoveel gebeurt het maakt allerlei taalaspecten zichtbaar die anders misschien verborgen zouden zijn gebleven om duidelijk te maken dat je niet door 0 kunt delen maakt de le raar gebruik van een gedachtenexperiment stel je voor dat 5 diezelfde methode kun je ook gebruiken om te verifieren wat de uitkomst is van delingen met negatieve getallen stel je voor dat 3 2 dan moet 2 5 10 het lijkt erop dat de leraar een methode ontwikkeld voor twee ver schillende situaties waarbij het delen door 0 als een soort klap op de vuurpijl moet komen voor de leerlingen is dat niet vanzelfsprekend het woord delen heeft voor hen de waarde van een handeling delen is een werk woord het stelt een handeling voor met een uitkomst delen doe je delen van negatieve getallen doe je net zo als van positieve alleen met wat extra regeltjes voor de plussen en minnen heel aardig is in dit verband de dubbelzinnigheid van 28 en 29 een negatief en een positief getal wordt een negatief getal bedoeld de leerling hier het resultaat van een deling of van een vermenigvuldiging achteraf de leraar interpreteert het als het resultaat van een vermenigvuldiging 30 ook in het tweede frag ment komt de associatie vair het woord delen met een handeling heel duidelijk naar voren 0 want als je nikts hebt hou je niks delen wordt hier zoals gebruikelijk op de lagere school geasso cieerd met verdelen bij is een dergelijke interpretatie niet meer mogelijk verdelen over nul personenen is geen verdelen meer bij je kunt niks van 0 aftrekken 50 doelt de leerling waar schijnlijk op de handeling delen is herhaald aftrekken alleen interpreteert hij dat net verkeerd om dat zou van toepassing zijn 60 o 5 bi r en niet bi globaal bekeken wordt de dialoog bepaald door een methodenstrijd tussen leraar een leerlingen leerlingen verifieren de juistheid van beweringen over delingen met doe argumenten de verificaties zijn gekoppeld met directe handelingen waarvan de bewering een rechtstreeks resultaat is op de lagere school is het rekenonder wijs sterk algoritmisch van aard sommen worden gemaakt op basis van heel specifieke handelingsvoorschriften de uitkomst van de sommen heeft een grote waarde waarschijnlijk speelt deze traditie een belangrijke rol in de methodenkeuze van de leerlingen de leraar verifieert de juistheid van zijn beweringen met behulp van een gedachtenexperiment kenmerkend voor een dergelijke metho de is de zinscontructie stel je voor dat je wilt daarmee zeggen verplaats je in de situatie dat de deling zo zou zijn uitgevoerd dat tt 5 je verifieert dan met behulp van een werk hypothese waarbij een beroep wordt gedaan op je inlevingsvermo gen in denkbeeldige situaties ook hier is er sprake van tradi tie in wiskundestudie zijn dergelijke constructies een onmisbaar element van bijna alle bewijstechnieken als je die niet beheerst haal je eenvoudig weg je kandidaats niet de leraar is er zo ver trouwd mee geraakt dat hij zich nauwelijks kan indenken dat leer lingen daar moeite mee zouden kunnen hebben voor leerlingen is een dergelijke vorm van stel je voor waarschijnlijk nieuw in stel je voor dat 5 is sprake van een sterk gereduceerde situatie je geeft niet aan hoe je 5 als resultaat van de deling jr zou kunnen krijgen voor de redenering op zich is dat natuurlijk helemaal niet belangrijk alleen het denkbeeldige resultaat speelt een rol niet de manier waarop dat resultaat tot stand is gekomen voor de leerlingen is die manier echter een onderdeel van de betekenis van delen bij het presenteren van gen dergelijke situatie ontkom je dus niet aan de manier waarop je zou hebben kunnen uitrekenen bijvoorbeeld door een jerhaaltje stel je voor dat ze op een ande re planeet vinden dat 5 omdat je bij delen door 0 eigenlijk niks hoeft te verdelen en er dus 5 moet overblijven dan moet over het algemeen wordt er in het wiskunde onderwijs weinig expli ciete aandacht besteed aan deze manier van verifieren al doende dienen de leerlingen met de methode vertrouwd re raken in van t riet 1980 worden een aantal situaties beschreven waar uit blijkt dat leerlingen daar grote moeite mee hebben 3 waarom waarom om lengtes van lijnstukken ten op zichte van elkaar te kunnen aan geven bijvoorbeeld dit lijnstuk is twee keer zo lang als dat 61 heb je niet genoeg aan de verhouding van alleen maar natuurlijke getallen dit was een van de meest sensationele ontdekkingen van de griekse wiskunde als je een vierkant tekent met een diagonaal erin fig 1 een vierkant met diagonaal dan kun je de verhouding tussen de lengte van de diagonaal en de zijde niet aangeven met een breuk van natuurlijke getallen de grieken kenden voor die onmogelijkheid een heel geraffineerd meet kundig bewijs tegenwoordig geven we die verhouding aan met a 2 en noemen we v2 een irrationaal niet rationaal getal wat voor de griekse wiskunde een bijna alles omverwerpende ontdekking was wordt door de huidige schoolboeken gepresenteerd als een eenvoudi ge uitbreiding van bestaande getallenverzamelingen 4 irrationele getallen we hebben in dit hoofdstuk gezien elk rationaal getal d w z elk getal uit q is a een eindige decimale breuk of b een oneindige decimale breuk die repeteert er bestaan echter ook oneindige decimale breuken die niet repeteren een voorbeeld is 0 1 12 123 1234 12345 ook bij zo n oneindige decimale breuk hoort een oneindige rij inkrimpende inter vallen en dus volgens de stelling in 3 een punt op de getallenlijn maar bij dit punt kan niet een getal uit q behoren we spreken af dat we bij zulke punten ook getallen denken maar dat zijn dan ge tallen van een nieuwe soort deze nieuwe getallen heten irrationale getallen zo n irrationaal getal is dus te denken als een oneindige decimale breuk die niet repeteert fragment uit een schoolboek 62 dat zoiets niet probleemloos hoeft te verlopen is te zien in de volgende scene een 2 atheneumklas de leraar is weer een hospitant maar een an dere dan in de vorige scene 1 lr de wortel uit 2 de wortel uit 2 wat zou daar uitkomen katrien k kan niet lr kan niet waarom kan dat niet 5 k lr irene probeer dit probleempje eens op dezelfde manier op te lossen als je bier gedaan hebt 1 eh stel 1 2 is x lr ja schrijft op het bord 10 i x is dan 2 lr ja en tevens 12 i x is gieter of gelijk aan 0 13 lr nou x 2 als ik nu opschrijf a 2 komt je dit misschien bekend voor 15 reacties ja ja lr in die les met de rekenmachines hebben we dit gehad he wat hadden we toen geconluceerd wat weten we dan over het getal a zelf fau long f het is geen geheel getal 20 lr nee maar wat voor getal is het dan wel f een eh dat weet ik niet lr dat weet je niet meer linda l een irrationaal getal lr een irrationaal getal ja in die les met de rekenmachine 25 hebben we gezien dat a een irrationaal getal is nou wat was a 1 2 dus 1 2 is een irrationeel getal volgt hier uit ja frederique fr had haar vinger opgestoken fr ik snap er niks van waarom is dat nou een irrationeel getal waarom 30 lr eh heb je die les toen nog bekeken met fr ja lr je bent een paar lessen niet geweest fr eentje niet lr eentje niet nou waarom is dat een irrationaal getal 35 frank fk nou het eindigt niet achter de komma heb je oneindig veel decimalen fr naar hoe weet je dat nou lr ja dat is een hele goei vraag hoe weet je dat nou 40 ik heb nooit laten zien dat a irrationaal is ik heb wel een paar voorbeelden gemaakt en gezegd je kunt wel aanvoelen dat als je breuken in het kwadraat doet krijg je nooit 2 naar ik heb het niet echt bewezen dat het een irrationaal getal is dat heb ik jullie 63 45 maar wijs gemaakt fr ik snap nog steeds niet waarom is dat nou zo 47 lr waarom is a een irrationaal getal je weet wat een irrationaal getal is fr ja oneindig 50 lr nou een oneindig decimale breuk die niet repeteert he fr hm lr nou en in die les heb ik gezegd reken maar eens wat breuken uit ik weet niet meer welke getallen dat waren maar er kwam steeds nooit twee uit ja net 55 allerlei soorten breuken hebben we dat gedaan toen zeiden we van nou dan zal het wel irrationaal zijn v2 of dit getal a fr ik snap nog steeds niet waarom dit zo is lr nou het waarom dan zou je dat moeten bewijzen laten 60 zien dat a irrationaal is zo n bewijs bestaat er ook wel misschien wel leuk voor de liefhebbers het staat zelfs in het boek het staat op blz 160 dat is een heel oud bewijs het is zelfs al door de grieken gegeven ja maar ik kom straks wel even bij je frederique dan 65 zullen we het wel even hebben over de lessen die je gemist hebt meisje tegen fr waarom vraag je dit allemaal lr gert heb je het begrepen gert zat er nogal afwezig bij g nee niet helemaal 70 lr niet helemaal wat heb je niet begrepen dan g ja hoe je dat uitrekent lr hoe je wat uitrekent g eh dat irrationale getal v2 lr nou die hoef je ook niet uit te rekenen het gaat erom 75 dat 1 2 een irrationaal getal is volgende lessen gaan we wel proberen om v2 uit te rekenen ja het taalgedrag van de leraar zou je op z n minst zeer onhandig kunnen noemen hij lijkt een beetje uit het veld geslagen door het aandringen van frederique in 33 blijkt dat fr een les afwe zig is geweest de leraar gebruikt dat gegeven helemaal niet en gaat meteen weer door met zijn irrationale getallen in 65 heeft hij het zelfs weer over de lessen die fr gemist zou hebben zo zijn er nog wel een paar onhandigheden aan te wijzen bij de bespreking van dit fragment zal ik me echter meer richten op de inhoudelijke onduidelijkheid van de dialoog de hele scene speelt zich af rond het begrip irrationaal getal voor de leerlingen is dat een denk object dat gedefinieerd is door een aantal intuitieve begrippen oneindig decimale breuken di niet repeteren of wortels uit vergelijkingen bijvoorbeeld x 2 die je wel kunt benaderen met je rekenmachine maar nooit helemaal precies kunt uitrekenen de objecten hebben geen duidelijke fysie 64 ke bestaanswaarde ze zijn zelfs negatief gedefinieerd niet eindigende breuken die niet repeteren of niet rationale getallen waarvan het kwadraat 2 is hetgeen wiskundig een malle beperking zou betekenen want er zijn nog veel meer irrationale getallen dan wortels om te weten wat 1 2 wel is heb je veel meer informatie nodig daarvoor zul je eerst uitgebreid met oneindig decimale re peterende breuken gewerkt moeten hebben en zelf een aantal moeten hebben geconstrueerd die niet repeteren hier zijn de objecten zo inhoudsloos voor de leerlingen gedefinieerd dat ze er waarschijn lijk weinig mee kunnen frederique maakt dankbaar gebruik van de onduidelijkheden om zich tegen de leraar te verzetten maar de verklaring voor dit verzet kun je alleen maar raden is ze aan het uitproberen is ze echt in het onderwerp geinteresseerd en eist ze een duidelijke uitleg ze blijft doorvragen en neemt geen genoegen met de antwoorden van de leraar uit regel 67 blijkt dat het gedrag van frederique ook niet voor andere leerlingen duidelijk is waarom vragen kom je vaak tegen in alle mogelijke soorten en vor men van onderwijs aan de hand van bovenstaand fragment zal ik proberen een aantal bedoelingen en effecten van die waarom vragen op te sporen juist in dit fragment lijkt het woord waarom al lesoverheersend zowel leraar als leerlingen bestoken elkaar met waarom vragen de eerste waarom vraag staat in 4 de leraar vraagt naar de uit komst van v2 katrien zegt dat dat niet kan en vervolgens vraagt de leraar waarom kan dat niet dit begin van de les is een kor te herhaling van de voorgaande les waarin leerlingen met behulp van zakrekenmachines hebben geprobeerd een getal te bepalen waar van het kwadraat 2 is de waarom vraag heeft hier de bedoeling om oude kennis op te halen of terug te denken aan een vroegere les situatie dat blijkt uit het vervolg waarin de leraar die si tuatie heel nadrukkelijk aan de orde stelt 13 16 17 de vraag zelf 4 is hier op dit ogenblik dubbelzinnig je zou ook kunnen denken dat hij naar een verklaring vraagt die je ter plaatse zou moeten bedenken katrien geeft geen antwoord heeft ze geen verklaring associeert ze de vraag wel met de vorige les maar kan ze het niet onder woor den brengen frederique stelt haar klemmende waarom vraag in 28 voorafgaand door ik snap er niks van spitst ze dat onmiddellijk daarna toe op het woord irrationaal de vraag is onverwacht past niet in het op dat ogenblik aan de orde zijnde patroon tot nu toe hebben leerlingen alleen maar ge reageerd op vragen van de leraar frederique reageert echter vol ledig op eigen initiatief bovendien onderbreekt ze het verhaal 65 de leraar is bezig met het repeteren van oude kennis in eerste instantie ontwijkt de leraar de vraag door te verwijzen naar de vermoedelijke oorzaak van haar niet weten daarna speelt hij de vraag door aan frank de leraar interpreteert haar vraag als een signaal waarmee fr wil aangeven dat ze wat gemist heeft dat er meer achter zit blijkt uit de nadruk waarmee fr haar waarom vraag herhaalt 29 frank geeft een wat onduidelijke verklaring nu vraagt fr door maar hoe weet je dat nou in het antwoord van de leraar wordt het woord irrationaal gebruikt alsof het begrip al volkomen duide lijk is voor iedereen hij zegt a is irrationaal omdat je geen breuk kunt vinden waarvan het kwadraat 2 is hij suggereert daar mee dat deze procedure een verificatie is van het irrationaal zijn maar dat betekent dat irrationaal een grondbegrip is dat je moet beheersen voor je kunt gaan verifieren of iets onder het begrip valt of niet als je wilt weten of iets geel is zul je eerst moeten weten wat geel is hierdoor ontstaat een heel verwarde situatie de procedure een breuk proberen te vinden waarvan het kwadraat 2 is is een onder deel geweest van de definiering van irrationaliteit daaruit is de eigenschap van het oneindig voortlopend zijn zonder herhaling als decimale breuk min of meer afgeleid door frank wordt dat laatste aangegeven als wezenskenmerk van irrationaliteit irratio naliteit slaat op een specialisatie van hem bekende objecten de cimale breuken net zo als geel een speciale kleur is en het kleur zijn van geel een wezenskenmerk is fr herhaalt haar vraag in 46 met de toevoeging ik snap het nog steeds niet wat voor antwoord verwacht ze nu wil ze een uitleg horen van het woord irrationaal wil ze een rekenpartij zien waaruit blijkt hoe je a 2 als oneindig decimale breuk kunt uitrekenen in 47 herhaalt de leraar haar vraag en vervolgt met een inter pretatie door de aandacht op het woord irrationaal te richten 49 hij kaatst daarmee de bal terug waarbij fr wel gedwongen wordt in zijn interpetatie mee te denken fr komt er ook niet uit is haar antwoord een herhaling van de opmerking van frank of heeft ze al eerder de klok horen luiden de leraar vult fr zelf aan door het volledige kenmerk van irrationaliteit te geven hm zegt fr toch gaat de leraar door in 58 zegt fr dat ze het nog steeds niet snapt dan verandert de leraar van tactiek 59 hij interpreteert het voordragen van fr als een vragen naar een bewijs en verwijst naar iets dat op dat ogenblik onbereikbaar is voor de leerlingen bovendien snoert hij fr de mond door te zeggen dat ze straks samen de lessen zullen doornemen die ze ge mist heeft 66 in 67 staat een heel andere waarom vraag fr wordt daarmee door een medeleerlinge min of meer ter verantwoording geroepen over haar ongebruikelijke gedrag misschien heeft gert 17 dezelfde moeilijkheden als fr maar kan hij het beter onder woorden brengen ik weet niet hoe je 1 2 uit rekent de omschrijving van gert geeft aan dat het begrip 1 2 zich op een grondniveau bevindt getallen zijn voor hem objecten waar je mee rekent ze hebben een welomschreven uiterlijke verschijningsvorm breuken cijfers en combinaties daarvan met eventuele min tekens kommagetallen 1 2 daarentegen is een symbolosche notatie die een bundeling van eigenschappen aangeeft van een denkbeeldig getal dat getal waarvan het kwadraat 2 is leerlingen kunnen zich daar aanvankelijk niets bij voorstellen in proefwerken willen ze 1 2 het liefst vervangen door een con creet getal ook als nadrukkelijk gesteld is dat je 1 2 mag laten staan en als de vervanging meer rekenwerk geeft pas nadat ze heb ben leren rekenen met wortels ontstaat er wat meer zicht wortels zijn dan echter heel eigen objecten geworden met een eigen gramma tica waarvan de verbinding met andere getallen maar heel zwak is rekenen met een zakrekenmachine speelt zich meestal op een derge lijk grondniveau af mogelijkheden om dat niveau te ontstijgen ontstaan er als er iets merkwaardigd gebeurt bijvoorbeeld als je 1 2 zou proberen uit te rekenen je kunt je dan afvragen wat er misgaat via de eigenschap dat kwadraten altijd positief zijn kom je dan tot de ontdekking dat het onmogelijk is om wortels uit negatieve getallen te trekken op dat ogenblik beweegt je denken zich op een ander niveau in plaats van met de objecten zelf rede neer je aan de hand van eigenschappen van objecten waarom vragen zijn de sleutel vragen die een dergelijk redeneren op gang kunnen brengen waarom vragen zijn vragen achteraf ze worden gesteld nadat er iets gebeurd is dat niet vanzelfsprekend is waarom vragen initie ren een verklaring van die gebeurtenis in ons geval was dat de ongelijkheid in niveaus tussen twee begrippen 1 2 en irra tionaliteit het onduidelijke gedrag van de leraar het onduidelijke gedrag van fr samengevat kun je stellen dat dit fragment bepaald wordt door een tweetal latent aanwezige conflicten een conflict tussen het denken en taalgebruik van de leraar en dat van de leerlingen door een koppeling van twee begrippen 1 2 en irrationaliteit die alleen maar te begrijpen valt als het wortelbegrip op een ander niveau beheerst wordt ontstaat een kloof van onverstaanbaarheid 67 een conflict tussen de verwachtingen van fr en de leraar fr verwacht een duidelijke uitleg op dat ogenblik de leraar ver wacht dat fr zelf de gemiste les sen heeft ingehaald of zich tevreden stelt met een schetsmatige uitleg omdat ze lessen ge mist heeft opvallend in dit fragment is dat het stellen van waarom vragen van fr haast werkt als een parodie op het voortdurend waarom ge vraag van wiskundeleraren in het wiskunde onderwijs worden waarom vragen gebruikt omdat ze te dwingen tot het doordenken van de feiten en leerlingen op een spoor kunnen zetten naar een andere kijk op de zaken je moet er wel tegen kunnen om voortdurend met waarom vragen bestookt te worden het vooronderstelt een weten schappelijke houding om door te vragen naar grondprincipes rede neringen in logische stappen uiteen te rafelen of op te stellen verantwoordelijkheid durven afleggen over je aannames enz het eist ook een kritische grondhouding ten aanzien van je eigen ge drag op je hoede zijn voor cirkel redeneringen logische misstap pen fouten in berekeningen enz dit gaat veel veder dan het natuurlijke waarom van kinderen dat is gebaseerd op verbazing over opvallende verschijnselen of op direct eigen belang helaas wordt er weinig gedaan in het onderwijs om die kritische grondhouding te ontwikkelen men gaat er eigenlijk gewoon van uit dat leerlingen die houding al hebben daarom zou je eigenlijk erg gelukkig moeten zijn met de waarom vragen van frederique 4 kiezen en uitvoeren van procedures als je een computer een bepaald probleem wilt laten oplossen zul je eerst een geschikte manier moeten bedenken waarop die machine het probleem te lijf kan gaan voordat de berekening ook daadwerke lijk uitgevoerd kan worden dit geeft aan dat er twee fasen zijn in dit proces van het probleem oplossen het kiezen van de geschikte programma s het uitvoeren van die programma s deze situatie kan min of meer model staan voor leersituaties waar in leerlingen probleem oplossend bezig zijn ook dan is er sprake van de keuze en de uitvoering van een programma waarmee het pro bleem kan worden opgelost het is echter gebruikelijker om over oplossingsstrategieen of procedures te praten over programma s kortheidshalve zal ik hier het woord procedures voor reserveren daarmee bedoel ik de manier waarop problemen worden aangepakt door deze analogie wil ik niet het leren gelijk stellen aan het programmeren van computers integendeel leerlingen zullen ook moeten leren zelf procedures te kiezen voor het oplossen van pro blemen zover hebben computers het nog niet geschopt het is niet zo dat deze fasen strikt chronologisch zijn geschei den een probleem kan bijvoorbeeld zo n sterke signaalwerking heb ben ten aanzien van de oplossing dat je al aan de uitvoering van 68 de procedure bent begonnen zonder dat je over de keuze van die procedure hebt hoeven nadenken het kan ook zijn dat je min of meer op de gok voor een bepaalde procedure kiest om tijdens de uitvoering daarvan tot de ontdekking te komen dat de keuze niet juist was en je je dan pas bewust gaat afvragen joe je het pro bleem wel kan aanpakken dat houdt in dat je ook voortdurend tij dens de uitvoering evaluerend bezig bent ten aanzien van de effec tiviteit van de procedure bij het probleem oplossen werk je dus op twee niveaus het procedurele niveau denken over de keuze en de effectieve waarde van de procedure de procedures zelf zijn object van het denken het handelingsniveau werken aan de uitvoering van de proce dure de procedure wordt uitgevoerd in het onderwijs zul je die twee niveaus terugvinden als je van leerlingen eist dat ze zelfstandig bepaalde problemen kunt oplossen eis je ook van ze dat ze over oplossingsstrategieen kunnen nadenken ieder niveau vraagt andere denk technieken het denken op het pro cedurele niveau kun je horizontaal denken noemen het betekent dat je denkt in alternatieven die min of meer naast elkaar staan gelijkwaardig zijn ten opzichte van de probleemstelling het ver ticale denken slaat vooral op het uitvoeringsniveau waarin je de gekozen procedure doorrekent horizontaal denken eist een gevoe ligheid voor analogieen een open staan voor nieuwe onverwachte invallen en de beschikking over een waarderingssysteem voor de effectiviteit van oplossingsstrategieen verticaal denken vereist een zekere discipline en overzicht over het gekozen pad het bovenstaande wordt weerspiegeld in de dialoog tussen leraar en leerling en waarin je twee soorten informatie kunt tegenkomen de procedurele informatie over de procedure de handelingdinformatie over de uitvoering in een 4 atheneum klas wordt het huiswerk besproken over het be gin van kansrekening waarbij leerlingen met tel problemen zijn geconfronteerd 69 opdracht 78 jeroen bosch 5 hoeveel keer lees je hier jeroen bosch a j h j e e e e r r r r r r 0 0 0 0 0 0 0 0 10 e e e e e e e e n n n n n n n n b b b b b b 0 0 0 0 0 0 s s s s s s 15 cc cc h h uit de bespreking van opgave b lr hoeveel manieren zijn er om van de j naar de b te komen maarten twintig 20 lr en hoeveel van de b naar de h m ik heb gelijk meteen doorgeteld lr dat kan bij die o wat heb je daar staan m ook 20 zo wordt doorgeteld tot 120 op het bord komt 25 20 20 20 40 40 40 60 60 20 30 de getallen stellen het aantal mogelijkheden voor dat maarten heeft gesteld vanaf b om bij h te komen een aantal leerlingen heeft het anders gedaan er zijn 20 manieren om van de j naar de b te komen en 6 manieren om van de b naar de h te komen dus in totaal 20×6 120 manieren 35 opdracht 80 het codesysteem de geheime inlichtingendienst van randomie bedient zich van allerlei codes bij het zenden van berichten of het opslaan van gegevens bij een van de codesystemen gebruikt men woorden van acht letters waarbij alleen de letters x en ij worden 40 gebruikt een voorbeeld van zo n codewoord is xyxxxyxx a hoeveel verschillende codewoorden kun je binnen dit systeem maken b maak de tabel op de volgende pagina af 70 aantal letters x aantal letters y aantal verschil 45 lende code woorden 0 8 1 17 8 2 6 28 50 c controleer je antwoord bij vraag met behulp van de getallen in de derde kolom met de voorafgaande opgaven had niemand al te veel moeite gehad maar met deze opgave lag dat anders de meeste leerlin gen waren er niet goed uitgekomen vandaar dat dit vraagstuk 55 bij de huiswerkbespreking veel aandacht kreeg vooral onderdeel b lr als we nul letters x gebruiken hoeveel woorden kunnen we dan maken wilma een lr als je een letter x neemt 60 w acht lr hoe kom je aan die acht w die x kan op alle acht plaatsen staan lr en twee letters x wilma weet het niet 65 lr het voorbeeld staat er niet voor niks het staat er natuur lijk om je naar een of ander systeem toe te brengen w 28 lr hoe kom je daaraan w het staat daar ze wijst in de tabel 70 lr jaaa het gaat er juist om hoe je dat kunt beredeneren waar kunnen die 2 letters x staan op welke plaats w op de eerste en de tweede plaats in de loop van het gesprek komt op het bord 1 2 75 1 3 2 3 1 4 2 4 3 4 1 5 2 5 3 5 4 5 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 80 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 het eerste cijfer van een tweetal stelt de plaats van de ene x het tweede cijfer de plaats van de tweede x voor lr zie je al een of ander systeem ontstaan w 8 7 6 5 4 3 2 1 71 85 lr ja en dat zal wel 28 zijn neem ik aan nou dat is een manier zijn we dit model vaker tegengekomen 87 er is niemand die zich dat kan herinneren de behandeling van de opgave wordt voortgezet met lr goed zo kun je er dus komen wilma en zo kun je ook met 90 die 3 en 4 gaan doen theet een lange methode lr dus theet waar zal ons zoeken nu op gericht moeten zijn theet reageert niet lr wie kan dit praten naar die straten en die lanen 95 niemand reageert lr zou het veel uitmaken als die x en en y en vervangt door noord en oost de leraar tekent een rooster op het bord en in het vervolg van het gesprek worden er een aantal wegen ingetekend die 100 alle in hetzelfde roosterpunt 3 5 eindigen n o n n o o n n o o o n n n n n n n n n n o o o n o o o n n n n n n o n n o o n fig 2 lr dus wat is kenmerkend voor wegen die hier in dit punt eindigen lr elke weg met 3×0 en 5xn eindigt hier lr hoeveel wegen eindigen er in dat punt hoeveel korte 105 wegen zijn er van dit punt naar dat punt de leraar schrijft de getallen uit de driehoek van pascal in het rooster bij het roosterpunt 3 5 komt 56 te staan lr wie had dat zelf gezien die samenhang tussen opgave 80 en die roosters 110 niemand steekt zijn of haar vinger op de rest van de opgave moeten de leerlingen zelf nog eens proberen dit protocol is verzameld uitgewerkt en van begeleidend commentaar voorzien door heieen verhage van de vakgroep ow oc in utrecht 72 het is duidelijk de bedoeling dat bij deze problemen de leerlingen niet alleen een goed antwoord weten te produceren op ieder pro bleem afzonderlijk maar dat ze ook tel procedures weten te ont wikkelen die van toepassing zijn op een grotere klasse van proble men in eerste instantie vraagt de leraar bij opgave 78b alleen maar om het antwoord 18 en 20 uit de vragen blijkt echter ook dat hij een keuze voor een strategie heeft gemaakt eerst alle moge lijkheden van j naar b tellen daarna die van b naar h afzonder lijk de vragen bevatten dus impliciete informatie over de proce dure maarten had een andere strategie gekozen je telt eerst al les van j naar b en dan tel je gewoon door geen wonder dat hij met zijn procedure opmerking van regel 21 komt er zal eerst over eenstemming over de gekozen procedure moeten zijn wil verdere communicatie zinvol zijn de leraar gaat onmiddellijk verder met de strategie van maarten op uitvoeringsniveau zodat het gesprek gewoon door kan gaan een kwestie van vakmanschap ook bij de behandeling van opdracht 80b speelt de dialoog zich in eerste instantie op het handelingsniveau af 56 t m 60 pas in 61 na het goede antwoord komt de vraag naar de procedure ook in regel 65 komt de procedure vraag na de vraag naar de oplos sing in dit geval weet wilma de oplossing niet en geeft de leraar een aanwijzing als je er niet meteen uitkomt moet je proberen een systeem te ontdekken in het geval van wilma is dat systeem heel eenvoudig het antwoord staat in de tabel jaaa zegt de le raar en bedoelt dus nee je moet het juist kunnen beredeneren hij stelt hier een duidelijke eis dat het niet gaat om op zoek procedures maar om redeneer procedures hij geeft vervolgens zelf weer aan welke redenering je kunt gebruiken 71 hij geeft dus eerst aan wat voor soort procedures je moet kiezen redeneren en vervolgens kiest hij binnen die soort een heel specifieke kijk naar de plaats van de twee letters x in 83 weer een bewust makings ogenblik voor de procedure het antwoord interesseert hem niet eens 80 hij probeert heel bewust het spoor van de analogie aan te geven om de gevonden oplossingmethode een procedurele gel digheid te geven of probeert hij al vooruit te kijken naar het vervolg waarin je de zaak toch nog heel anders zult moeten aanpak ken in 94 komt die andere procedure inderdaad om de hoek waarbij hij dankbaar gebruik maakt van de opmerking van theet 91 ook hier geeft hij aan dat we met een analogie te maken hebben 96 je vervangt x en y gewoon door noord en oost voor de leerlin gen is die stap te groot uit de dialoog valt af te leiden dat de leraar er de voorkeur aan geeft om vanaf het handelingsniveau naar het procedure niveau over te gaan zo van los eerst de som maar op dan praten we daarna 73 wel over de methode die overgang van uitvoering naar procedure komt in drie verschillende situaties voor of de uitvoering is geslaagd en de leraar vraagt achteraf naar een verwoording van de gevolgde procedure of de uitvoering is niet gelukt en de leraar dringt aan om nu eerst naar eens een geschikte procedure te zoeken of de uitvoering lukt wel maar er ontstaan bezwaren tegen de methode waarop de leraar aandringt op het zoeken van een ande re methode ook voor het zoeken naar een geschikte procedure probeert de le raar bij de leerlingen een strategie te ontwikkelen het betreft nu de uitvoering van en ander probleem zoek een geschikte oplos singsmethode dit blijkt uit de trapsgewijze overgang naar het stratenmodel eerst vraagt hij waar moet je zoeken op gericht zijn 92 dan komen de straten en lanen op de proppen 94 en suggereert tenslotte dat je x en y misschien zou kunnen vervangen door noord en oost de leraar geeft niet de procedure rechtstreeks aan maar geeft het paadje van de analogie aan als middel om een geschikte procedure te vinden in het bovenstaande zijn we een aantal procedures tegengekomen waarmee de leerlingen de gestelde problemen proberen op te lossen tel procedures gewoon door alle mogelijkheden uit te tellen vind je de oplossing van het probleem redeneer procedures je vindt de oplossing door een geschikte redenering op te zetten op zoek procedures het antwoord staat in een tabel of achter in het boek daarnaast geeft de leraar aan hoe jezelf dergelijke procedures kunt vinden kijk eens terug naar soortgelijke sommen die je al eerder hebt gemaakt en ga eens na hoe je dat deed de dialoog wordt eigenlijk volledig bepaald door deze twee doelen het expliciet oefenen van bepaalde oplossingsmethodes het vinden van dergelijke methodes de leraar weet deze beide doelen op een natuurlijke wijze in zijn gesprek met de klas in elkaar te verweven belangrijk is hierbij de houding dat hij vindt dat de leerlingen moeten leren de problemen zelf op te lossen ook het inspelen op de antwoorden door daar mee verder te gaan en zelfs zijn eigen procedure daarbij aan te passen zal daar debet aan zijn 5 tot slot over de methode ik heb in een drietal situaties willen aangeven hoe bepaalde as pecten van het vak wiskunde in dialogen in de klas kunnen doorwer ken de gekozen situaties hebben geen bewijskracht het zijn illustra ties bij de bewering dat een aantal vakinhoudelijke aspecten mede 74 bepalend is voor het vraag en antwoord spel tussen leraar en leerling en dat je bij de bestudering van dergelijke dialogen ook aandacht moet schenken aan de vakinhoud hoe meer van dergelijke illustraties des te sterker wordt de bewering je kunt dergelijke zaken alleen maar aan het licht brengen door protocollen te analyseren en te interpreteren daar zitten een aantal gevaarlijke kanten aan veel niet verbale informatie is verdwenen de omgevingsfactoren klasse situatie uur van de dag zijn vaak onbekend subjectiviteit speelt een rol een ander kan de situatie heel anders interpreteren aan de eerste twee bezwaren valt niet te ontkomen ook de subjectiviteit bij het interpreteren is een onvermijdelijke factor tenzij je protocollen gaat scoren in je objectieve catego rieen maar daarmee wordt de waarde van de informatie sterk gere duceerd doordat het alleen maar uiterlijke informatie verschaft en geen inzicht geeft over de processen en mechanismen die de fei ten hebben veroorzaakt aan het bezwaar van de subjectiviteit is enigszins tegemoet te komen als je duidelijk aangeeft waar je naar hebt gekeken en hoe je dat hebt gedaan de lezer kan de gevolgde methode toetsen en zich er tegen weren in mijn geval heb ik van tevoren een drietal aspecten van het wis kunde onderwijs genomen waarvan ik verwachtte dat ze een rol zou den spelen bij de taal in de klas verifieren niveaus van denken oplossingsprocedures daar heb ik een drietal voorbeeld situaties bij gezocht en die geanalyseerd op de taalkundige gevolgen dat resulteerde in een aantal opvallende taalconstructies beknopt weergegeven zijn dat stel je voor zinnen waarom vragen hoe doe je dat vragen natuurlijk treden dergelijke constructies ook op in andere situa ties het ging mij echter om situaties te laten zien waarin naar mijn idee de inhoud van het vak onlosmakelijk verbonden is met het taalgebruik bij het analyseren heb ik me niet gehouden aan een specifieke me thode maar heb ik me volledig laten leiden door de keuze van mijn onderwerpen zo heb ik bij het tweede fragment aleen de waarom vragen eruit gehaald en heb daarvan de functie binnen het geheel proberen aan te geven vaak ligt die functie niet eenduidig vast meestal heb ik dat dan open gelaten en verschillende mogelijkheden aangegeven of alleen maar vraagtekens geplaatst het is mogelijk dat ik soms wel een keuze heb gemaakt terwijl er achteraf meer mogelijkheden blijken te zijn het is het recht van de lezer om dat uit te zoeken leek december 1982 maart 1983 75 bibliografie appel r g hubers en g meijer siolinguistiek utrecht spectrum 1976 bellack a a h m kliebard r t hyman f l smith the language of the classroom teachers college press columbia university new york 1966 freudenthal h mathematics as an educational task reidel dordrecht 1973 miller g a p n johnson laird language and perception cambridge 1976 reiss v die steuerung des unterrichtsablaufs europaische hochschulschriften 11 lang frankfurt am main 1982 riet n van 11 g schoenmaker dagboek van twee loerders 7 wiskrant 23 november 1980 i0w0 utrecht sinclair j mch r m coulthard towards and analysis of discourse the english used by teachers and pupils oxford university press oxford 1975 stubbs m language schools and classrooms methuen london 1975 76