Documenten
sieb kemme taalaspecten van het wiskunde onderwijs taal en begrippen bijna dagelijks fiets ik tussen huis en werk op en neer van leek naar groningen en weer terug de tocht voert dus s morgens in oostelijke en s avonds in westelijke richting zodat ik altijd naar de zon toe fiets als het weer een beetje meezit maak ik in het voorjaar en de herfst nog net zonsopgang en zonsondergang mee zo heb ik in een mooie heldere herfstweek kunnen ervaren hoe de maan beweegt ten opzichte van zon en aarde in die week zag ik de zon dagelijks ondergaan in de buurt van de toren van midwolde tegelijkertijd stond de maan ongeveer in het zuiden ze was nog een beetje bleek wolkig omdat het nog volop licht was ik zag dat het halve maan was plotseling realiseerde ik me dat dat ook wel zo moest zijn de toren van midwolde stond voor mij in het westen de maan in het zuiden de hoek tussen zon en maan was dus 90 graden o aarde fig 1 zonsondergang boven midwolde dan kun je van de maan ook alleen maar de rechter helft verlicht zien de rechter helft verlicht dat is de helft van de letter p van premier de maan moet dus nog voller worden 77 spiegel 1 1983 nr 1 77 86 7 eerste kwartier volle maan laatste kwaktier mieuwf maan fig 2 de schijngestalten van de maan en dat kun je alleen maar zo voor elkaar krijgen ju fig 3 de maan draait linksom geloof je niet dat de maan steeds voller wordt denk je dan maar eens in dat je naast de toren staat en naar de maan kijkt volgens de stippellijnen welk gedeelte van de bol zie je dan verlicht dat zou betekenen dat de maan bij het tijdstip van zonsondergang steeds oostelijker moet gaan staan met intens genoegen heb ik die week mijn voorspelling zien uitkomen aan de totale verande ring in de hoek kon ik op de fiets uitrekenen dat de maan er on geveer een maand over moet doen voor ze weer in dezelfde stand staat met aarde en zon ik realiseerde me trouwens pas een jaar later wat deze ervaringen me echt hadden geleerd toen ik een in drukwekkende foto van de grand canyon onder ogen kreeg aan de kleuren en de schaduwen kon je zien dat de foto midden op de dag was gemaakt boven de indrukwekkende rotspartijen prijkte een volle maan mijn eerste reactie was dat kan niet een volle maan overdag vroeger zou zoiets me gewoon niet zijn opgevallen het was een trucage de maker heeft zich waarschijnlijk gewoon niet gerealiseerd dat dat onmogelijk was of gedacht dat zien ze toch niet 78 wereldbeeld is hoe je tegen dingen aankijkt hoe je ze interpre teert en waardeert met welke objecten je je bezighoudt en hoe je daar mee omgaat wereldbeelden sturen je handelen en denken zoals het verschijnsel dat je je met sommige objecten wel bezig houdt en andere volledig negeert of het verschijnsel dat je lie ver niet argumenteert maar de zaak met je handen wilt onderzoe ken omgekeerd verandert je wereldbeeld voortdurend onder invloed van je ervaringen als resultaat van je handelen en denken hierboven gaf ik een voorbeeld van een dergelijke verandering bij mezelf wat me hierin interesseert is de rol van de taal dit onderwerp is natuurlijk niet nieuw de relatie tussen taal en wereldbeeld is aangegeven in de sapir whorf hypothese die stelt dat de cultuur van een taalgemeenschap de taal bepaalt of beinvloedt en dat de taal het wereldbeeld van het individu be paalt of beinvloedt appel e a 1976 de bestudering van de hypothese vindt echter alleen maar plaats vanuit linguistisch of cultureel antropologisch gezichtspunt ik zal in een aantal voor beeld situaties aangeven hoe de theorie ook van belang kan zijn bij het onderwijs in dit geval wiskunde onderwijs eerst nog even terug naar mijn voorbeeld van de maanbeweging aan mijn aanpak kun je wel zien dat ik ooit iets aan wiskunde gedaan heb dit kun je onder andere terugvinden in de gemakke lijke manier waarin ik praat over hoeken hoeken van 90 graden ook het gemak waarmee ik tekeningen maak waarin maan en aarde als cirkels en de zon als een richting omdat die zo ver weg staat worden weergegeven duiden op een schematische manier van denken over hoe de wereld in elkaar zit daarnaast beschik ik over een soort dynamisch hoekbegrip dat wil zeggen ik kan me hoeken voorstellen die veranderen die voortdurend groter of kleiner worden mijn bewering is zonder dit arsenaal van hulpmiddelen en nog een heel stel meer was dit hele voorval aan me voorbijgegaan de taal was hierbij een instrument niet alleen beschik ik over een woordenschat maar ik heb er ook een stel taalregels bij zo dat ik uitdrukkingen in een zinnig verband weet te plaatsen en onzinnige combinaties weet te vermijden bij het woord hoeken bijvoorbeeld gebruik ik hoeken worden groter een hoek is recht de hoek tussen zon aarde en maan en vermijd ik hoe ken worden dikker een hoek is onrecht de hoek tussen zon en maan ook het denken in figuren en het maken van geschikte tekeningen reken ik hierbij tot de taal hoewel er grote uiterlijke ver schillen zijn tussen tekeningen en woordentaal hebben ze hier dezelfde functie het symbolisch weergeven van de stand van za ken ook voor het tekenen geldt hetzelfde als voor woordentaal ik beschik over een aantal basiselementen en regels om die ele menten te combineren of combinaties te vermijden dat die regels niet louter syntactisch van aard zijn blijkt wel uit de voor 79 beelden die ik heb gegeven stel je voor je weet nog niet wat rechthoeken en vierkanten zijn je leraar heeft een verzameling kartonnen figuren gemaakt en probeert je daarmee die begrippen duidelijk te maken eerst laat hij deze zien fig 4 rechthoeken en zegt erbij dit zijn rechthoeken dan zie je deze fig 5 vierkanten en hij zegt dit zijn vierkanten zonodig laat hij nog meer voorbeelden zien je hebt nu geleerd wat rechthoeken en vierkanten zijn en je kunt ze onderscheiden op grond van de getoonde vorm stel je nu eens voor dat in die situatie je leraar zegt een vierkant is een rechthoek dan weet je dat dat niet waar is de meeste kinderen leren op de kleuterschool het onderscheid tussen vierkanten en rechthoeken min of meer op deze manier ze blijven heel vaak volhouden dat een vierkant geen rechthoek is op grond waarvan vinden wiskundigen dat een vierkant een speci aal geval van een rechthoek is niet op grond van de vorm alleen want de vormen verschillen maar op grond van de eigenschap een vierkant heeft vier rechte hoeken wiskundigen kijken dus niet alleen naar vorm ze letten ook op woorden en zinnen die de 80 eigenschappen van die vormen naar hun idee kenmerken ze gaan daarbij vaak zo ver dat de vorm van de objecten in hun redenaties niet eens meer voorkomt je knipt een figuur uit met de vorm fig 6 een vierkant je zorgt er voor dat de zijden zo n beetje gelijk zijn en de hoeken recht je laat dat vol trots aan een wiskundige zien kijk eens ik kan een vierkant maken maar tot je grote teleur stelling vindt hij zij dat helemaal geen vierkant het lijkt er aardig op maar het is er niet een bij een vierkant zijn de zij den precies gelijk en de hoeken precies recht vierkanten zijn vierhoeken met vier gelijke zijden en vier rechte hoeken je kunt ze dus niet maken of tekenen het zijn denkobjecten fysisch be staan ze niet troost je niet alle wiskundigen zijn zo in dit opzicht verschilt jouw wereldbeeld hemelsbreed van dat van je gespreksgenoot jullie hebben het over andere objecten fysisch of denk object en de een gaat er anders mee om dan de ander aanwijzen meten knippen of redeneren over dit verschil in wereldbeelden is weerspiegeld in de taal het gebruik van figuren tegenover verbale redenaties het aanwijzen tegenover het benadrukken van onderlinge verbanden hetzelfde woord vierkant heeft verschillende betekenissen ook de taalre gels van dat woord zijn anders geconfronteerd met de volgende situatie fig 7 ook een vierkant reageer je misschien met een vierkant op zijn punt en de wis kundige met waarom zou dat geen vierkant zijn 81 in het wiskunde onderwijs zit je voortdurend aan de wereldbeelden van leerlingen te sleutelen niet altijd met evenveel succes vaak ga je ervan uit dat de leerlingen al een bepaalde kijk heb ben op de stand van zaken en dat ze daar in alle situaties mee uit de voeten kunnen dat dat niet altijd het geval is blijkt uit de moeite die het soms kost om eigenschappen van figuren te leren herkennen en benoemen en er vervolgens mee te leren redene ren wordt de stap van de vorm taal naar de eigenschap taal te snel gemaakt dan ontaardt het redeneren in het letterlijk imiteren van de leraar de structuren van beide talen verschillen nogal freudenthal 1978 noemt ze demonstratieve respectieve lijk relatieve taal de eerste wordt vooral gekenmerkt door de aanwijzende vorm die mevrouw daar in deze figuur deelt diagonaal ac de andere bd middendoor de tweede door de verban den tussen objecten aan te geven de mevrouw met dat rode hoed je in een rechthoek delen de diagonalen elkaar middendoor freudenthal noemt de talen van een verschillend niveau de eerste taal gaat aan de tweede vooraf en de tweede is een uitbreiding van de eerste stel je voor de wiskundige van zonet kan heel aardig knutselen hij is bezig met een salontafel die op velerlei verzoek achthoe kig dient te worden en dat lukt je vraagt hoe deed je dat nou dan zal hij gaan beschrijven wat hij heeft gedaan kijk eerst heb ik het blad netjes vierkant uitgezaagd daar heb ik toen de diagonalen ingetekend met het snijpunt van die diagona len als middelpunt kijk dit punt en hij wijst in een schetsje aan welk punt hij bedoelt heb ik een cirkel langs de zijden getekend dat kun je heel gemakkelijk doen met een spijkertje en een touwtje aan een potlood waar die cirkel de diagonalen snijdt kunt je dan de vier schuine zijden aftekenen van de achthoek deze punten bedoel ik zie fig 8 82 fig 8 hoe je een achthoekige salontafel maakt je moet het wel heel precies loodrecht op de diagonalen doen met een winkelhaak of zo op die manier krijg je een keurige re gelmatige achthoek maar hoe weet je nou dat die stukken dan precies even lang zijn ja dat zie je toch meet maar na bovendien als je de andere twee loodlijnen op de liggende en staande zijden trekt dan zie je het aan de symmetrie van de figuur fig 9 de symmetrie van de salontafel 83 nu geen woord over het feit dat die zijden helemaal niet precies even lang zijn achthoekig is gewoon achthoekig op grond van de vorm je ziet ook voor wiskundigen hangt het van de situatie af hoe je de zaak aanpakt hoe je tegen de stand van zaken aankijkt ook is het relatieve taalgebruik ineens verdwenen er wordt druk aangewezen en geredeneerd in deze ene speciale figuur het is dus niet zo dat een eenmaal verworven kijk op de wereld alleen rechten krijgt het hangt af van de probleemstelling in ons voorbeeld is de probleemstelling hoe maak ik duidelijk wat ik heb gedaan en waarom levert dat een achtkantige tafel op in het wiskunde onderwijs ligt die situatie vaak anders daar is het hoe weet je dat in het algemeen los van praktische situaties figuren die zo en zo in elkaar zitten ook regelmatig achthoekig zijn met het veranderen van het wereldbeeld van het vierkant verandert de bijbehorende taal er ontwikkelen zich nieuwe taalregels rond om het woord vierkant het relatieve karakter van die regels is op zich niets nieuws in een rechthoek delen de diagonalen elkaar middendoor is in dit opzicht niet te onderscheiden van op school delen de leraren straf uit de taal wordt er dus grammaticaal bekeken niks ingewikkelder van het nieuwe is niet de relatieve constructie maar de nieuwe combinatie van woorden die een verandering van betekenis van rechthoek impliceert je praat nu niet meer over rechthoeken alsof het enkel en alleen speciale vormen zijn je kunt erin tekenen ermee redeneren an dere vormen onderscheiden als je 1 9 probeert uit te rekenen met een staartdeling zul je ontdekken dat je in een bewerking zonder einde bent verzeild ge raakt de uitkomst van de deling is de oneindig voortlopende decimale breuk 0 1111111 kortweg 0 x spreek uit nul komma een repeterend zo kom je in aanraking met het bestaan van ge tallen waarvan de waarde niet precies is vast te stellen maar wel steeds preciezer als je er maar genoeg tijd in steekt 0 0 is ook zo n getal is het kleiner dan of misschien gelijk aan 1 taal 1981 stelde deze vraag aan eerste jaars wiskundestudenten van de universiteit van warwick hoewel ze over de formele tech nieken beschikten om te bewijzen dat 0 0 1 beweerden 14 van de 36 studenten dat 0 0 1 is de objecten 0 0 en 1 zijn zo ongelijksoortig dat het haast bij voorbaat onmogelijk lijkt dat ze gelijk zouden kunnen zijn 0 0 is het gedachte resultaat van een niet eindigende notatie het is een denkobject dat geen representant heeft in de fysische er varingswereld het getal 1 daarentegen is op zeer veel manieren om ons heen aan te wijzen er is er maar een van dit lijnstuk is 1 cm lang de anderssoortigheid van de objecten is heel direct terug te vinden in de verschillen in taalregels van beide 0 0 wordt en 1 is worden als correct ervaren terwijl 84 0 is en 1 wordt dat niet zijn denk maar eens aan o p wordt 1 tegenover 1 wordt 0 het verschil in waarheids waarde van beide zinnen geeft duidelijk de ongelijksoortigheid aan door de notatie 0 99999 wordt hier een nieuw soort getal ge schapen evenzo leidt acceptatie van 0 1 tot een ander we reldbeeld met betrekking tot getallen het heeft bijvoorbeeld tot gevolg dat je inziet dat het getal 1 ook anders geschreven kan worden dat je 0 wel kunt interpreteren in de fysische er varingswereld dat oneindig kleine grootheden zoals het verschil tussen 0 en 1 nul zijn in deze situatie begint het onderwijs meestal met de bewering dat 0 1 waarbij de leraar intuitief of formeel duidelijk maakt waarom dat wel zo moet zijn het bewijs dient om de leer ling van de waarheid te overtuigen de leerling wordt min of meer gedwongen de juistheid daarvan in te zien door de kracht van de overreding feyerabend 1975 stelt in navolging van wittgenstein dat taal niet slechts een instrument is om gebeurtenissen feiten de stand van zaken te beschrijven maar dat ze ook een schepper is van gebeurtenissen feiten de stand van zaken 0 is niet gelijk aan 1 omdat het anders geschreven wordt in de zin 0 1 heeft het teken niet de betekenis van is identiek aan maar o wordt 1 of 0 en 1 hebben dezelfde waarde in de fysische ervaringswereld in het bovenstaande voorbeeld heb ik dus een situatie in het wiskunde onderwijs proberen te scheppen waarin de taal een schepper is van wereldbeelden met betrekking tot getallen in het voorbeeld van de rechthoeken en vierkanten zie je het om gekeerde de taal loopt achter de gebeurtenissen aan eerst is er het idee daarna de taal deze situatie sluit aan bij de me ning van donaldson 1978 in navolging van piaget dat de taal het instrument is om wereldbeelden te beschrijven en vast te leg gen en in tweede instantie die wereldbeelden weer zal beinvloe den eerst is er het idee van de verschillende vormen van recht hoek en vierkant en pas daarna ontwikkelt zich de taal om de ver schillen te beschrijven doordat die taal een breder toepassings gebied heeft dan alleen maar die twee soorten figuren zal er een verdere ontwikkeling naar andere situaties kunnen optreden met het eerste voorbeeld over de beweging van de maan heb ik duidelijk willen maken dat die beinvloeding van taal en wereld beeld ook gelijktijdig kan gebeuren er is dan een directe wis selwerking het beschikbaar hebben van de taal als specifieke beschrijver van de stand van zaken veranderde niet alleen mijn ideeen over die stand van zaken maar ook het beschrijvingsin strument ik ben dergelijke beschrijvingen anders gaan waarderen doordat ze hun nut hebben bewezen bovendien is de betekenis van een aantal uitdrukkingen veranderd doordat ze van toepassing ble 85 ken te zijn in nieuwe situaties er zijn dus ook hoeken om ons heen een hoek wordt dus niet altijd begrensd door twee rechte lijnen op een blad papier in het wiskunde onderwijs kun je met die sapir whorf hypothese dus alle kanten uit het zou interessant zijn om uit te zoeken of er sprake is van enige systematiek in de verschillende geval len en of er een oorzaak voor de verschillen is aan te wijzen het zou wat meer zicht kunnen geven op een aantal didactische problemen binnen de wiskunde als gevolg van taalmoeilijkheden daarnaast hoop ik met dit verhaal duidelijk te hebben gemaakt dat in de wiskunde de taal een hele specifieke weerspiegelende en regelende taak heeft bij de ontwikkeling van het denken september 1982 sieb kemme literatuur appel r g hubers en g meijer sociolinguistiek utrecht spectrum 1976 donaldson m children s ninds fontana collins 1978 feyerabend p against method london verso 1975 freudenthal h weeding and sowing dordrecht reidel 1978 tall d en s vinner concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity educational studies in mathematics 12 1981 151 169 dordrecht reidel 86