Taalaspekten van het wiskunde-onderwijs: bewijzen

sieb kemme taalaspekten van het wiskunde onderwijs bewijzen 1 inleiding van januari tot augustus 1983 val ik als leraar wiskunde in aan het praedinius gymnasium te groningen gedurende zes uur per week onderwijs ik een tweede en een vierde klas ik neem me voor om me zoveel mogelijk bij de bestaande situatie aan te passen dat betekent dat ik volledig zal aansluiten bij het door de sectie wiskunde vastgestelde programma voor de twee de klas staat ondermeer het onderdeel redeneren in de meetkunde op de rol het zal de eerste keer zijn dat de leerlingen zich gaan bezighouden met wat meer formele redeneringen om de waarheid van eenvoudige meetkundige beweringen aan te tonen vanuit taalkundig oogpunt lijkt deze situatie me interessant ik ben benieuwd wat voor overtuigingskracht deze manier van bewijzen voor de leerlingen zal hebben tot nu toe zijn ze gewend deze overtuigingskracht te ontlenen aan figuren of aan eenvoudige be werkingen met formules waarin in een oogopslag de waarheid van de bewering is af te lezen nu zullen ze korte redeneringen moeten ontwikkelen die een lo gische samenhang hebben en waarbij ze gegevens moeten gebruiken die niet direct door de situatie zijn gegeven dit stelt nogal wat eisen aan hun taalkundige vermogens lijkt me wat zal ik kun nen bereiken met behulp van het bestaande materiaal moderne wis kunde deel 3hv welke weerstanden zal ik ontmoeten op welke manier ontwikkelt zich het leerproces als er al sprake is van een ontwikkeling het zijn allemaal vragen die me bij het begin van het onderwerp vaag door mijn hoofd spelen ik heb ze pas achteraf expliciet opgeschreven deze opstelling als gewone leraar wreekt zich als ik op een we tenschappelijke manier deze vragen wil gaan beantwoorden ik kan nu geen onderwijsexperimenten uitvoeren die gebaseerd zijn op vragen en doelstellingen ik ben zelfs zo dom geweest om tijdens het lesgeven geen schriftelijke aantekeningen bij te houden soms heb ik een enkele opvallende leerlingreactie opgeschreven omdat ik bang was die te vergeten ik wilde alleen maar leraar zijn geen onderzoeker schriftelijke evaluatie gedurende het lesgeven 33 spiegel 3 1984 nr 3 33 54 zou mijn optreden teveel kunnen beinvloeden dat zou de situatie weer te bijzonder maken bovendien had ik er gewoon de tijd niet voor ik beschik nu dus alleen maar over mijn eigen geheugen en fotokopieen van de gemaakte proefwerken toch heeft mijn leraar zijn ook vele voordelen naast het alterna tief van observator ik beschik over een volledig beeld van de onderwijssituatie doordat ik de leerlingen goed ken actief met de leerstof aan de gang ben geweest en er daardoor de kracht en zwakte van heb ervaren bovendien ken ik mijn eigen intenties als leraar en kan ik daardoor achteraf een realistischer interpre tatie geven van het gebeuren in deze analyse achteraf zal ik proberen te onderzoeken in hoe verre het bewijzen in de wiskunde een bijdrage kan leveren ten aanzien van de redeneervermogens van leerlingen allereerst zal ik met behulp van de taalhandelingstheorie van searle aangeven welke betekenis de taalhandeling bewijzen in onze omgangstaal heeft vervolgens zal ik die theorie toetsen aan het gegeven on derwijs op school dit leidt tot een aantal conclusies die van belang zijn voor de keuze van het lesmateriaal en de activiteiten van de leraar 2 taalhandelingstheorie en onderwijs het aantrekkelijke van de taalhandelingstheorie van searle in verband met het onderwijs is dat die uitdrukkelijk uitgaat van de tweezijdigheid in de taalsituatie bij de meeste leertheorieen staat de leerling als individu centraal en wordt achteraf uit het falen van de leerlingen conclusies getrokken voor het onderwijs gedrag van de docent de taaltheorie beschrijft juist die voor waarden voor het slagen van een taalhandeling in gelijkwaardig heid tussen spreker en hoorder en geeft daarmee mogelijkheden aan om het taalgedrag van leraar en leerlingen in samenhang te analy seren de theorie van searle is natuurlijk het beste terug te vinden in zijn boek taalhandelingen 1977 een vertaling van speech acts 1969 een mooi overzicht en een verdere uitwerking van de pragmatische taaltheorie staat in taal en handelen van van dijk 1978 ook in appel sociolinguistiek 1976 en tervoort psycholinguistiek 1972 staan overzichten zij het summiere van de theorie het werk van searle is echter erg theoretisch taal filosofisch van aard en heeft geen directe verbinding met onder wijssituaties ook verdere uitwerkingen van de theorie zie searle 1980 en parret 1981 hebben dit theoretische en filoso fische karakter als toepassing van de theorie zijn inmiddels wel allerlei verbin dingen tussen pragmatiek en onderwijs gelegd bellack 1966 en sinclair 1975 geven uitgebreide analyses van klassegesprekken in termen van taalzetten tussen leerkrachten en leerlingen deze 34 analyses zijn sterk geinspireerd door de ideeen van wittgenstein in zijn filosofische onderzoekingen dat de taal het kenmerk van een spel heeft waarin de deelnemers zetten kunnen doen deze stu dies maken een aantal stereotypen in taalgedrag zichtbaar tussen leerkrachten en leerlingen de studies zijn erg beschrijvend van karakter en zijn gefixeerd op het onderlinge gedrag van beide partijen de leerstof speelt eigenlijk geen rol bij de beschrij vingen of het nu over geschiedenis of wiskunde gaat het taalge drag lijkt hetzelfde te zijn ook in de studie van reiss 1982 wordt de taalkundige situatie van een aantal wiskundelessen zeer gedetailleerd geanalyseerd met behulp van elementen uit de speech act theorie ze ontdekt een aantal aspecten van taalgedrag die van invloed zijn op de sturing van het leerproces met name taalkundige kenmerken van meewer kend en stoorgedrag van de leerlingen van overgangen in de les en van procesbegeleidende signalen worden aangegeven de inhoud van de leerstof schijnt ook hier nauwelijks een rol te spelen de studie is vooral van sociolinguistisch belang er wordt niet dui delijk hoe leerlingen leren wel in welke situatie ze leren en welke sociologische mechanismen daarin een rol spelen in mijn vorige artikel kemme 1983 over dialogen heb ik een drietal klassesituaties geanalyseerd waarmee ik heb laten zien hoe de duidelijkheid of onduidelijkheid van de leerstof van invloed kan zijn op dit sociologische gebeuren in de klas willen we echter vanuit taalkundige gezichtshoek het leren bestu deren dan zullen we ook een theorie over de betekenis tot onze beschikking moeten hebben veel zo niet alles van wat leerlin gen leren hangt namelijk af van de manier waarop ze woorden zin nen interpreteren het aardige van de taaltheorie van searle is nu dat die ook een theorie over de betekenis bevat de betekenis van een taalhandeling wordt in de theorie weergegeven met de sociale context waarin die taalhandeling plaatsvindt de beteke nis van groeten wordt bepaald door de situatie en de intenties waarin spreker en hoorder zich bevinden om de situatie van het leren bewijzen te onderzoeken zullen we dus die elementen van de sociale context moeten opsporen die de betekenis van bewijzen kenmerken en zullen we moeten nagaan in hoeverre de leerlingen dit zullen herkennen niet ten aanzien van taalhandelingen in het algemeen maar via de specifieke taalhandeling naamgeven bevat de speech act theorie ook een theorie over de betekenis van begrippen omdat het definieren en naamgeven van nieuwe begrippen veel in het wiskunde onderwijs voorkomt geeft dit element van de theorie mogelijkheden tot analyses van leersituaties waarin naam geven en definieren aan de orde is in kemme 1981 1982 heb ik daarvan een uitwerking gegeven de verbinding tussen wiskunde onderwijs en taal vanuit het gezichtspunt van de taalhandelingen is al veel eerder gegeven door mannoury in de jaren 1920 1950 in zijn studies in de signi fika mannoury 1924 1930 1947 1949 de signifika is ontstaan 35 vanuit de engelse taalfilosofie onder leiding van lady welby met onder andere fr van eeden l e j brouwer en jacob israel de haan werd in 1917 een internationaal instituut voor wijsbegeerte opgericht in amsterdam in 1922 werd het instituut omgezet in een signifische kring met een bescheiden werkprogramma mannoury 1949 in de signifika zijn elementen aan te wijzen die later in de pragmatiek ook een duidelijke rol zullen spelen zo hanteert mannoury de term taaldaad om aan te geven dat we door middel van spreek of schrijf handelingen proberen invloed op elkaar uit te oefenen en dat daarbij niet alleen de propositionele inhoud maar ook een emotionele lading een rol speelt vanuit een beteke nistheorie die sterk geent is op het onderscheid tussen het boven en het onderbewuste geeft mannoury een aantal karakte ristieken van wiskundige activiteiten opvallend is dat telkens de rol van de omgangstaal binnen de wiskunde wordt aangegeven voortdurend trekt mannoury vergelijkingen tussen de betekenis in de omgangstaal en de wiskundige betekenis van allerlei begrippen hij geeft de verschillen aan tussen die betekenissen maar laat ook tegelijkertijd zien hoe ze onderling verbonden blijven in het denken van de wiskundige zo merkt hij ten aanzien van het werk woord bewijzen in de wiskunde en de omgangstaal op in de laatstgenoemde taal toch betekent bewijzen iemand of mis schien zelfs ieder verstandig mens overtuigen dat is zijn aanvankelijk verzet tegen hetgeen we beweerd hebben door woorden of handelingen doen verdwijnen en voor instemming plaats maken en van dit alles is bij een wiskundig bewijs dat dan ook liever afleiding moest genoemd worden geen sprake mannoury 1930 het wiskundige bewijzen is volgens hem een oefening om te laten zien hoe een bewering ligt opgesloten in daaraan voorafgaande reeds afgeleide beweringen juist door dit verschil aan te geven maakt mannoury duidelijk waar we moeilijkheden bij het leren bewijzen door leerlingen kunnen verwachten over het algemeen zijn de geschriften van mannoury zeer leesbaar zijn ideeen over het wiskunde onderwijs doen modern aan en zouden gisteren kunnen zijn opgeschreven het is verbazend dat hij zo weinig invloed heeft gehad op de didactiek van de wiskunde mis schien kwamen zijn ideeen daarvoor teveel uit een verdachte filosofische hoek in de volgende paragraaf zal ik de betekenis van de taalhandeling bewijzen aangeven door de indicatoren voor spreker en hoorder ervan op te schrijven daarbij zal ik uitgaan van de beschrijving die mannoury heeft gegeven en van twee situaties waarin bewijzen op een heel natuurlijke manier aan de orde is 3 de taalhandeling bewijzen in de schoolmethode moderne wiskunde vierde herziene editie 36 staat de volgende opgave brugklas teken op roosterpapier een vierkant van 10 bij 10 zoek van elke zijde het midden verbind die middens zo met elkaar dat een nieuw vierkant ontstaat hoe groot is de oppervlakte van het nieuwe vierkant de figuur komt er zo uit te zien figuur 1 veel leerlingen meten de lengte van de zijde van het binnenste vierkant die is 7 dus de oppervlakte van het nieuwe vierkant is 49 de leraar zegt ik weet zeker dat de oppervlakte precies 50 is hoe zie ik dat ze hebben de figuur op roosterpapier getekend door de lijnen in het papier zien ze dat de oppervlakte de helft van de oppervlakte van het grote vierkant moet zijn figuur 2 het bewijs is geleverd in een experiment naar probleemoplossend gedrag van kinderen dat is uitgevoerd door balacheff balacheff 1981 bevinden vier 37 leerlingen zich paarsgewijs in een kamertje de paren zijn van elkaar gescheiden door een wand ieder paar wordt geconfronteerd met het volgende probleem figuur 3 hoeveel rechthoeken zitten er in deze figuur ieder tweetal moet zijn oplossing zo opschrijven dat het andere tweetal overtuigd raakt van de juistheid van zijn oplossing het geheel krijgt daardoor een zeker spelelement pascal 15 jaar bepaalt dat aantal door te tellen maar zegt daarna hoe kun je dat bewijzen hij gaat vervolgens op zoek naar een structuur die het goede antwoord levert hij past ten slotte de volgende redenering toe we hebben zes kleine recht hoeken omdat we in totaal 18 rechthoeken hebben gevonden moeten er bij iedere kleine rechthoek drie verschillende van het totale aantal te vinden zijn hij maakt daarbij de volgende tekening 7 i ic ci a o t f figuur 4 de twee voorbeelden beschrijven situaties waarin bewijzen de omgangstaalbetekenis van mannoury heeft iemand overtuigen dat is zijn aanvankelijke verzet tegen hetgeen we beweerd hebben door woorden of handelingen doen verdwijnen en voor instemming plaats maken toch is er een duidelijk verschil tussen beide voorbeelden in het eerste voorbeeld levert de redenering een nieuwe overtuiging op de leerling denkt dat het antwoord 49 is de leraar zegt dat 38 het 50 is en overtuigt de leerling door hem op het spoor van de redenering te zetten bij pascal is de redenering een redenering achteraf die een verantwoording moet leveren voor de tegenpartij van het resultaat van zijn tellerij zijn bewijs levert geen nieuwe overtuiging op het is hooguit een extra argument dat uit gaat van het gevonden antwoord deze betekenis van bewijzen laat zich weergeven met behulp van de lijst van searle die de illocutionaire strekking van de taal handeling aangeeft voor bewijzen zou dat er als volgt uit kun nen zien 1 propositionele inhoud de bewering en het bewijs 2 voorbereidend s preker en h oorder kennen de bewering s is overtuigd van de waarheid van de bewering h is daar niet van overtuigd tussen s en h bestaat impliciete over eenstemming over de geldigheid van de bewijstechniek en over de aard van de objecten en begrippen 3 oprechtheid s is overtuigd van de waarheid van de bewering en wil h daarvan overtuigen 4 essentie de taalhandeling geldt als een speciale vorm van de taalhandeling overtuigen doordat de overtuigingskracht ontleend wordt aan argumenten en methodes die voortvloeien uit de bewering zelf en in overeenstemming met de door s en h geaccepteerde methode van verificatie enige toelichting op deze regels is misschien wel nodig funda menteel idee achter de theorie van de taalhandelingen is de opvatting dat het spreken van een taal gelijk staat met het han teren van een door regels beheerste vorm van gedrag searle 1969 deze regels van de taal hebben een constituerende waarde in tegenstelling tot bijvoorbeeld de regels wetten van de natuurwetenschappen die meestal een constaterende waarde hebben dat verschil valt onder meer af te leiden uit het verschijnsel dat we afwijkingen van normaal taalgedrag als fout zullen kenmerken terwijl afwijkingen van de gravitatiewet van newton aanleiding zullen geven tot een aanpassing van die wet bijvoor beeld door de relativiteitstheorie op basis van de taalhande ling beloven ontwikkelt searle een negental voorwaarden die het welslagen van de taalhandeling zullen garanderen uit een analyse van deze voorwaarden komt hij tot het bovengenoemde viertal pun ten die de illocutionaire strekking van de taalhandeling aange ven daarmee wordt de gedragswaarde van de handeling bedoeld dat wil zeggen het effect dat spreker denkt of wil bereiken ten aan zien van het gedrag van hoorder dit staat los van de propositio nele strekking van de taalhandeling waarin verwezen wordt naar objecten of waarin eigenschappen worden toegekend tussen of aan objecten referentie en predicatie een aantal werkwoorden die illocutionaire handelingen aanduiden zijn bijvoorbeeld meedelen beloven bevelen groeten door het viertal kenmerken indi 39 catoren genoemd wordt nu een beschrijving van de illocutionaire strekking van bewijzen gegeven waarin de samenhang tussen pro positionele inhoud spreker en hoorder te herkennen is onder de propositionele inhoud van bewijzen verstaan we het geheel van objecten en begrippen en eigenschappen van die objec ten en begrippen die in de bewering en het bewijs aan de orde komen het voorbereidende kenmerk beschrijft de situatie tussen s en h voor en tijdens de uitvoering van het bewijzen de oprecht heid is een indicator voor het effect dat s met zijn handeling bij h wil bereiken de essentie van overtuigen is dat de hande ling geldt als een poging om h de waarheid van een bewering te doen inzien in het algemeen heeft s daarvoor meer middelen tot zijn beschikking dan bij bewijzen s kan h bijvoorbeeld proberen te overtuigen op grond van zijn vermeende autoriteit op dat ter rein zo zijn we er allemaal van overtuigd dat de aarde rond de zon draait hoewel bijna niemand dat ooit door een bewijs geveri fieerd heeft gezien met deze keuze van indicatoren wil ik zo dicht mogelijk bij het bewijzen in onze dagelijkse omgangstaal blijven onder bewij zen versta ik dus niet per se een logische keten van ware bewe ringen met de te bewijzen bewering als laatste maar versta ik iedere verificatie waarvan de methode door beide partijen geac cepteerd is zo kan het nameten van de lengte van de zijde in een figuur een bewijs zijn voor leerlingen onderling dat de opper vlakte 49 is bewijzen vat ik dus op als een taalhandeling binnen een gemeen schap waarvan het welslagen afhangt van de taalkundige en socio logische kenmerken van die gemeenschap de indicatoren beschrij ven de betekenis van de geslaagde taalhandeling in veel gevallen zal h echter het bewijs verwerpen de oorzaken laten zich uit de indicatoren afleiden h was al overtuigd van de waarheid van de bewering en vindt het bewijs volkomen overbodig h verwerpt de methode van bewijzen bijvoorbeeld omdat h die niet begrijpt of omdat die methode niet in overeenstemming is met het karakter van de bewering h ontdekt een fout in het bewijs een onjuist feit een ver keerde argumentatie of een onvolledige argumentatie naar aanleiding van deze laatste twee oorzaken kunnen de rollen van s en h omdraaien h zal proberen door middel van kritiek aan te tonen dat het bewijs van s onjuist is en zal het bewijs of de bewering van s vervangen door een ander bewijs of een andere bewering ook dit is een regelgeleid gedrag dat uiteindelijk zal leiden tot een uitgebreidere kennis van het onderwerp een derge lijke keten van bewijzen en weerleggingszetten wordt door popper 1963 en in navolging van hem door lakatos 1976 als essentieel ervaren voor de ontwikkeling van het wetenschappelijke denken 40 deze karakterisering van bewijzen ziet er onnodig ingewikkeld uit waarom zul je dat met indicatoren op gaan schrijven als mannoury het in een zin weet op te schrijven in de eerste plaats heb ik willen laten zien dat je de theorie van searle kunt hanteren op deze manier wat de waarde daarvan is zal zich nog moeten bewijzen daarnaast zie je door het gebruik van de verschillende indicato ren toch wat meer structuur in de relatie tussen s en h dan bij mannoury het geval is dit heeft het voordeel dat je gemakkelij ker kunt analyseren waar er iets mis gaat als er iets mis gaat ook hier is nu al kritiek te leveren op de beschrijving zelf zo is overeenstemming tussen s en h over de verificatiemethode wel erg ruim gesteld zijn alle verificatiemethodes toelaatbaar als s en h het met elkaar eens zijn daarmee zouden we hele idiote bewijzen moeten accepteren bijvoorbeeld als h de autoriteit van s als voldoende bewijs aanvaardt voor het ogenblik heb ik echter genoeg aan deze beschrijving en laat ik een verfijning daarvan graag aan anderen over 4 op school wat komt er allemaal van die mooie theorie terecht als je voor de klas staat je wilt een begin maken met bewijzen je wilt graag dat leerlin gen redeneringen leren maken die opgebouwd zijn uit een klein aantal argumenten met een zekere logische samenhang daarnaast wil je bereiken dat er een waardeverandering begint op te treden ten aanzien van het waarheidsbegrip je zou willen dat de leer lingen op de lange termijn gaan inzien dat iets niet per se waar hoeft te zijn omdat je zelf gewoon vindt dat dat zo is of omdat een ander dat zegt of omdat het in de krant staat je vindt dat leerlingen uiteindelijk op school moeten hebben geleerd met hun eigen gezonde verstand naar andermans beweringen te luisteren en die zonodig moeten kunnen weerleggen met behulp van een adeguate redenering dat is geen doel van het wiskunde onderwijs alleen maar het wiskunde onderwijs zou er wel een bij drage toe moeten kunnen leveren het is gebruikelijk om het leren redeneren in de wiskunde te beginnen met onderwerpen uit de meetkunde daar zijn een aantal argumenten voor meetkundige eigenschappen laten zich formuleren en bewijzen zonder dat daar veel voorkennis voor nodig is je hebt geen ingewikkeld algebraisch systeem nodig om de zaak op te kunnen schrijven het komt erop aan een geschikte keuze van de gegevens te doen en die op een juiste manier in een redenering te combineren deze keuze wordt vergemakkelijkt door het visuele aspect doordat je de hele situatie in een tekening kunt weerge ven heb je een beter overzicht in deze zin staat het redeneren 41 in de meetkunde vrij dicht bij het redeneren in onze dagelijkse omgangstaal ook daar leveren vaak fysieke gegevens het materiaal aan de hand waarvan je je argumenten moet kiezen en ordenen hoe ziet nu de relatie tussen leraar en leerlingen eruit waar binnen het bewijzen voor de leerlingen een betekenis moet gaan krijgen probeert de leraar de leerlingen te overtuigen van de waarheid van een bewering is er sprake van een overeenstemming over de methode van bewijzen door zo dicht mogelijk bij het boek aan te sluiten blijf ik ook zo dicht mogelijk bij de situatie die de leerlingen gewend zijn het geeft ze veel duidelijkheid ze weten precies wat ze moeten doen het geeft ze veel gelegenheid tot zelfwerkzaamheid in de klas wat deze 2 gymnasiumklas erg op prijs stelt en het maakt het voor mij ook gemakkelijker ik hoef niet allerlei teksten en sommen bij elkaar te scharrelen een karakteristiek fragment van deze serie lessen is het volgende voorbeeld 2 abcd is een vierkant p q m en n zijn de middens van de zijden zoals dat in figuur 10 9 is aangegeven we gaan bewijzen dat de lijnstukken am en bn congruent zijn yo fig io 9 we zoeken een afbeelding waarbij bn het beeldlijnstuk is van am zo n afbeelding is de rotatie om het middelpunt o van het vierkant over een hoek van 90 bij deze rotatie geldt c d jus cd da jus midden m midden n d a 42 nu kunnen we zeggen a b i dus am bn m v v j dus b n is het beeldlijnstuk van a m ze zijn congruent opdrachtin i neem het vierkant a b c d van figuur 10 9 a de lijn door e n m is een symmelrieas we spiegelen in die lijn wat is het beeldlijnstuk van am b het beeldlijnstuk dat we bij a gevonden hebben beelden we nu af op bn door een tweede spiegeling welke lijn moeten we nu als symmetrieas nemen c waarom zijn de lijnstukken a m en b n nu even lang 2 neem nog eens het vierkant van figuur 10 9 a we spiegelen in de lijn a c volgens welke regel is q het beeldpunt van m l welk lijnstuk is het beeldlijnstuk van a v b dit beeldlijnstuk willen we afbeelden op b n welke spiegeling moeten we dan gebruiken 3 a teken een gelijkbenige driehoek a b c a c en b c zijn de gelijke zijden d is het midden van b c e is het midden van a c trek a d en b i b je mag bekend veronderstellen een gelijkbenige driehoek heelt een symmetrieas beredeneer de lijnstukken ad en be zijn even lang de tekst komt uit moderne wiskunde deel 3 hv ik heb de leerlin gen gevraagd eerst voorbeeld 2 te lezen en daarna de opdrachten 1 2 en 3 te maken nu realiseer ik me pas in welke mate de situatie bepaald is door op deze manier het schoolboek te hanteren in het boek staat een voorbeeld van een redenering die moet aantonen dat twee lijnstuk ken even lang zijn je ziet zo aan de figuur dat dat waar moet zijn daar hoef je niet eens voor te meten het volgt uit de manier waarop die figuur in elkaar zit geen twijfel mogelijk bovendien laat die hele schematische redenering zich in een zin samenvatten als je de figuur een kwartslag draait komt het ene lijnstuk precies op het andere terecht achteraf is het dan ook geen wonder dat anthea al gauw roept wat doen ze toch moei lijk ik benadruk dat het er juist om gaat om een redenering te vinden die alleen uitgaat van de gegevens in opdracht 1 moeten ze hetzelfde nog eens bewijzen maar dan met behulp van spiege len opdracht 2 is een kleine variatie op opdracht 1 met twee andere lijnstukken bij opdracht 3 wordt een andere figuur gevraagd ook hier moeten ze weer iets bewijzen wat uit de figuur al overduidelijk is om een instrument te geven waaruit duidelijk wordt wat je wel en niet mag gebruiken bij een bewijs geef ik in de loop van de lessenserie het schema gegeven te bewij zen bewijs zo heb ik het vroeger zelf ook moeten leren in de klas is een duidelijke weerstand tegen dit gedoe van het schema zie ik niet veel terug alleen de brave leerlingen hou den dat nog een les of twee vol ik ben daar ook niet conseguent mee geweest het schema mag ook weer geen dwangbuis worden van de essentie van bewijzen zoals dat zo mooi in de vorige para graaf is opgeschreven is weinig overgebleven het bewijs draagt niets bij aan het overtuigen van de leerlingen ze zijn eenvou digweg al overtuigd de essentie is hier achteraf een rechtvaar diging geven van de situatie op een voorgeschreven manier deze andere betekenis van bewijzen is niet vanzelfsprekend voor de leerlingen het mooiste brengt ronald dit onder woorden met dat weet je toch al waarom moet je het dan nog eens een keer bewijzen ook de methode wordt niet zomaar geaccepteerd anthea zegt als ik weer eens het schema op het bord zet wat doet u toch moei lijk dat zie je toch zo er is duidelijk sprake van een incon gruentie tussen het visuele karakter van de bewering en de theo retische redenering dit is een vreemd en nieuw verschijnsel voor de leerlingen ze zien er het nut niet van in zolang ze geen dui delijke voorbeelden hebben gezien dat je het niet anders dan zo kunt bewijzen dergelijke incongruenties komen in de wiskunde zeer vaak voor geen wiskundige zal zich daar nog over verbazen wittgenstein bespreekt er een aantal voor een gezelschap van wis kundigen hij heeft daar een beetje de positie van een enfant terrible wittgenstein 1976 44 als we terugkijken naar de situatie van pascal dan zien we dui delijke overeenkomsten maar ook verschillen ook pascal is over tuigd van de waarheid van zijn uitkomst hij zoekt daar echter uit zichzelf een theoretische redenering bij wellicht voelt hij zich daartoe gedwongen door het spelelement van de situatie hij zal zijn oplossing moeten verantwoorden voor het andere paar en twijfelt er misschien aan of zijn telmethode zal overtuigen omdat die anderen ook wel geteld zullen hebben de hele situatie nodigt er kennelijk toe uit om achteraf een redenering te geven in de klas moet zoiets toch ook te realiseren zijn in tegenstelling met wat er in de klas gebeurde is de redenering van pascal wel in overeenstemming met het karakter van het pro bleem die redenering is een veralgemeende telmethode bij iedere rechthoek horen er drie andere het ligt wel voor de hand dat leerlingen altijd op zoek zullen gaan naar redeneringen die zo dicht mogelijk zullen aansluiten bij het karakter van het pro bleem zolang ze niet zelf de kracht van de andere onverwachte oplossing hebben ervaren samengevat zien we dat het bewijzen zoals het in de klas is gebeurd op geen enkele manier aansluit bij de kenmerken die we zo mooi hebben opgeschreven met behulp van de taalhandelingstheorie van searle bewijzen heeft hier de betekenis van afleiden zorg ervoor dat je met behulp van een expliciet gekozen methode laat zien dat deze bewering een gevolg is van een aantal gegevens en al eerder afgeleide beweringen in deze zin is het bewijzen een ondubbelzinnige voorbereiding op het bewijzen zoals dat onder wiskundigen gebruikelijk is 5 het proefwerk wat brengen de leerlingen er uiteindelijk van terecht als ze zelfstandig een wiskundig bewijs moeten leveren er zijn twee proefwerken gegeven waarin het bewijzen aan de orde komt het eerste in mei gaat over gelijkvormigheid het tweede in juni over meetkundige transformaties van het eerste proefwerk zal ik de resultaten bespreken van de opgaven l a l c en 3 van het tweede proefwerk de resultaten van opgave 2 dit waren de opgaven waarin bewijzen werden gevraagd bij opgave l a en l c moet bewezen worden dat twee driehoeken gelijkvormig zijn bij opgaven 3 en 2 dat een figuur van een spe ciale soort is het verschil tussen l a en l c enerzijds en 3 en 2 anderzijds is dat je de gelijkvormigheid niet uit de figuur af kunt lezen terwijl je bij 3 en 2 aan de figuur kunt zien van welke soort die is dat laatste geeft de waarheid een vanzelf sprekende evidentie het is interessant om na te gaan of dit in de oplossingen is terug te vinden 45 opgave l a van het mei proefwerk luidt figuur 6 aabc is rechthoekig bp staat loodrecht op ac ab 3 en bc a laat zien dat a abp gelijkvormig is met a acb en dat acpb gelijkvormig is met acba gelijkvormigheid is een theoretisch begrip dat slechts tendele betrekking heeft op de vorm van de figuur twee figuren kunnen van dezelfde vorm zijn bijvoorbeeld twee rechthoeken zonder gelijkvormig te zijn voor gelijkvormigheid van twee figuren is het nodig dat ook de verhoudingen in de figuur hetzelfde zijn wiskundig wordt dat aangegeven door de ene figuur moet in de andere kunnen overgaan door een vergroting of verkleining in alle richtingen bewijzen dat twee figuren gelijkvormig zijn betekent dan ook laten zien dat er een dergelijke vergroting of verkleining bestaat voor twee driehoeken is in het boek afge leid dat het voldoende is om te bewijzen dat de verhouding tussen de lengtes van de zijden twee aan twee gelijk is of dat de hoe ken in de driehoeken twee aan twee gelijk zijn het is opvallend dat geen van de leerlingen zegt dat de driehoeken gelijkvormig zijn omdat ze beide rechthoekige driehoeken zijn dus gelijk van vorm mijn ervaringen bij bijgewoonde lessen op lbo mavo scholen zijn dat deze terminologie daar wel aanleiding tot verwarring gaf in de les is dit probleem aan de orde geweest naar aanlei ding van het niet automatisch gelijkvormig zijn van rechthoeken bovendien is gelijkvormigheid onmiddellijk gekoppeld aan het zoe ken naar zo n vergroting daarmee krijgt het begrip meteen al een heel specifieke betekenis de structuur van een bewijs wordt in dit geval gekenmerkt door de keuze van de bewijsmethode met behulp van de gezochte vergro ting of van de gelijkheid van hoeken of van dezelfde verhouding van de zijden en de uitwerking van die methode vaak wordt de keuze van de methode niet expliciet gegeven maar is die uit de uitwerking rechtstreeks af te leiden bij die uitwerking komt het 46 erop aan te laten zien welke hoeken of welke zijden van de drie hoeken paarsgewijs met elkaar corresponderen het bewijs kan dan heel kort zijn zoals dat van chiel l i faia figuur 7 de oplossing van marcel vind ik de mooiste 3 a3k w lx fa u v l do kt et jfye l c e evvqpdf ao uzii l r bc v zel uys uls figuur 8 hij is de enige die de figuur opsplitst in twee afzonderlijke figuren maar vooral zijn laatste zin spreekt me erg aan ac heb ik als verschrijving van pc opgevat alle andere leerlingen 14 gaan op een of andere manier de mist in vier geven alleen maar aan op welke manier je zoiets zou kun nen bewijzen zoals abp is gelijkvormig met abc want ze hebben 47 de hoeken gelijk zonder daarbij aan te geven welke hoeken aan elkaar gelijk zijn drie keer is de argumentatie onvolledig er wordt dan bijvoorbeeld maar voor een paar hoeken aangegeven dat ze aan elkaar gelijk zijn daarnaast zijn er een aantal onjuiste feiten bijvoorbeeld dat een lijn een hoek middendoor deelt ter wijl dat helemaal niet zo hoeft te zijn tenslotte kan het bewijs door een dubbelzinnige notatie in het water vallen we zien hier dat leerlingen wel weten wat ze moeten doen om een bewijs te leveren maar dat dat mislukt in de uitwerking daarvan opgave l c luidt is acbp gelijkvormig met abap waarom je kunt hier een rechtstreeks bewijs leveren zoals bij l a door middel van de gelijkheid van paren hoeken of van de gelijkheid van verhoudingen maar het kan ook met een kort indirect argu ment doordat beide kleine driehoeken gelijkvormig zijn met de grote zie opgave l a zijn ze ook gelijkvormig met elkaar al leen ellen hanteert dit argument zelfs vanuit het ongerijmde ja anders isacpb niet gelijkvormig met acba dat is dan ook de enige goeie oplossing voor de rest geldt min of meer hetzelf de als bij l a ze weten precies wat ze moeten doen maar stran den in de uitvoering in tegenstelling met l a is het aantonen van de gelijkheid van de hoeken nu veel ingewikkelder het berust uiteindelijk op het argument dat de som van de hoeken in een driehoek samen 180 is waarbij je voor elke driehoek een duide lijk overzicht van de hoeken moet hebben opgave 3 ziet er heel anders uit 3 teken een driehoek abc met p als het midden van ac q als het midden van bc r op ab zodat ar ab en s op ab zodat bs l i ab wat voor figuur is vierhoek pqrs geef een bewijs de figuur komt er als volgt uit te zien c 9 figuur 9 het meest voor de hand liggende argument gaat als volgt pq is een zogenaamd middenparallel van abc dat betekent dat pq even wijdig is met ab en dat de lengte van pq de helft is van die van ab nu heeft rs ook die halve lengte want rs ab ar sb ab 4ab ab 4ab dus pq en rs zijn evenwijdig met elkaar en 48 evenlang daarmee is pqrs een parallellogram het bewijs heeft een ingewikkelder structuur dan de vorige dat pqrs een parallellogram is ziet iedereen alleen zijn er nu zoveel mogelijkheden om dat aan te tonen bovendien moet je pre cies weten welke eigenschappen voldoende zijn om te laten zien dat een figuur een parallellogram is slechts twee leerlingen produceren een redenering die ook maar een beetje op een bewijs lijkt ongeveer de helft begint met een gelijkbenige driehoek te tekenen dat levert een rechthoek als figuur op c figuur 10 er is niemand die zich realiseert dat dit een heel speciale situatie is die niets bewijst over de algemene situatie op zich heb ik er geen moeite mee als ze een bewijs produceren dat dit een rechthoek is maar daar komt men niet aan toe een dergelijk bewijs is trouwens net een stap ingewikkelder dan het parallello grambewijs want je moet nog apart laten zien dat hoeken recht zijn opvallend is de redenering van erwin 1 i ez p l l a c f ij qs t