Taalgericht vakonderwijs in mijn lessen wiskunde

31 taalgericht vakonderwijs in mijn lessen wiskunde els sas ik ben els sas momenteel leerkracht wiskunde aan het koninklijk atheneum te antwerpen in een ver verleden heb ik als laatstejaars secundair onderwijs heel lang getwijfeld tussen germaanse filologie en de studies van burgerlijk ingenieur ik heb dus altijd al een passie gehad voor taal vooral voor het engels een prachtige poetische taal maar ook mijn eigen moedertaal het nederlands ligt me na aan het hart na mijn ingenieursstudies en wat zijstapjes in de prive ben ik de uitdaging aangegaan leerkracht wiskunde te worden ik heb er meteen veel belang aan gehecht dat mijn leerlingen konden verwoorden wat ze deden en waarom toen ik aan de slag ging in een multiculturele school werd ik bijna vanzelfsprekend geconfronteerd met de gevolgen van taalachterstand en dus ook met taal en taalbeleid waarom en hoe kwam ik bij om hun werkwijze mondeling en schriftelijk taalgericht vakonderwijs toe te lichten en zo kwam ik logischerwijze terecht bij taalgericht vakonderwijs oen bleek al gauw dat veel leerlingen heel veel moeite hadden dat begrip is zo ruim kent zoveel aspecten om te verwoorden hoe ze een probleem dat het onmogelijk is om er hier alles over uit hadden aangepakt waarom ze precies die de doeken te doen daarom zal ik proberen formule en geen andere gebruikten bij met enkele concrete voorbeelden uit mijn een bepaalde opgave enz meer zelfs het eigen lespraktijk je een idee te geven van vraagstuk zelf oplossen ging vaak moeizaam wat je ermee kunt bereiken hoe het je of niet of ze sloegen de bal helemaal mis leerlingen en jou kan helpen bij het bereiken omdat ze struikelden over de taal over de van je les en jaardoelstellingen ik wil hier manier waarop de vraag geformuleerd was toch ook meteen bij vertellen dat ik uiteraard meer dan over de wiskundige achtergrond niet zelf het warm water heb uitgevonden op school trachten we immers via een een beetje koppigheid is me niet vreemd taalbeleidsplan in alle vakken aan de dus ik weigerde om de nadruk op taalvaardigheid van de probleemoplossend denken weg te laten leerlingen te werken het vraagstuk laat staan te verminderen in plaats daarvan oplossen ging ging ik op zoek naar manieren om de uiteraard is elke school vaak moeizaam leerlingen te ondersteunen manieren om en klassituatie verschil of niet omdat hen te helpen vraagstellingen beter te lend ik nodig je daarom ze struikelden begrijpen en hen het vertrouwen te geven uit om open te staan voor over de taal oktober 2008 nummer 1 38e jaargang 32 de voorbeelden en werkwijzen los van mijn verwerken van de gegevens over zoeken specifieke schoolcontext haal er de volgens van achtergrondinformatie om hun onder jou goede ideetjes uit zet ze naar jouw hand zoek in een breder kader te plaatsen tot en manier van werken en vergeet de het formuleren van besluiten methodes die niet passen bij jouw schoolcultuur of bij jouw persoonlijkheid dat is een erg talige opdracht waarmee je in het zou mooi zijn mochten we met z n allen een klap ook een heleboel vakoverschrijdende stappen zetten hoe klein aanvankelijk ook eindtermen nastreeft terwijl de leerlingen om taalgericht vakonderwijs meer te overleggen enquetes afnemen hun eva integreren in onze lessen niet omdat wat luatie schrijven zijn ze we vroeger deden niet goed is maar continu met taal bezig gewoon omdat een met de jaren veranderde dat is niet zo eenvoudig door te denken leerlingenpopulatie een veranderde maat vandaar dat ik ook heel te praten schappij ook een aangepaste of geevolueerde regelmatig hun resultaten te schrijven over aanpak in de klas vereist opvraag niet alleen om de leerstof gaan hen te leren plannen ze ze ook sneller maar ook om hen verwerken voldoende te kunnen project statistiek ondersteunen ze zeuren nu en dan wel even maar als het werk achter ik begin heel bewust met het project voor de rug is en ze presenteren hun lijvige werkje statistiek voor te stellen omdat statistiek zo aan de klas en aan mij dan zie je dat ze dankbaar is om taal en eigenlijk wel trots zijn dat hebben ze zelf ook in de wiskunde met elkaar te gemaakt het is helemaal van hen wiskunde kan een verzoenen wiskunde lijkt woordje verschil misschien ver van taal te voor de leerlingen wordt het onderdeel een heel andere staan lijkt misschien een statistiek op deze manier ook heel tastbaar betekenis geven andere discipline bijna doordat dit onderzoek hen als het ware aan een definitie een andere taal maar onderdompelt in de statistiek leren ze of een eigenschap niets is minder waar ook bovendien met al hun zintuigen door te in de wiskunde kan een denken te praten te schrijven over de woordje verschil een heel leerstof gaan ze ze ook sneller verwerken andere betekenis geven aan een definitie of een eigenschap statistiek is een mooie het is misschien niet altijd mogelijk maar als instap om de moge lijkheden van taalgericht je goede afspraken maakt kun je ook de vakonderwijs te illustreren leerkracht nederlands en informatica inschakelen om de leerlingen mee te in januari start ik in het 4e jaar met het ondersteunen houd er ook rekening mee onderwerp statistiek zie bijlage 1 bijna dat het lezen verbeteren en beoordelen van meteen krijgen de leerlingen van mij een de opdrachten voor jezelf heel wat tijd in opdracht waar ze in groepjes van twee beslag neemt maan den gaan aan werken in het kader van een ei gen statistisch onderzoek moe ten ze ik probeer ook de leerlingen in te schakelen echt alles zelf doen dat gaat van het bij het evalueren maar ook dat vraagt weer opstellen van een enqueteformulier het tijd en een zeker leerproces bij de leerlingen 38e jaargang nummer 1 oktober 2008 33 zelf de leerlingen proberen uit de verzamelde hoewel het in de meeste klasgroepen gegevens bijvoorbeeld besluiten te trekken aangenaam is om eens iets helemaal nieuw verkeerde besluiten soms dat geeft achteraf en anders te doen moet ik toegeven dat in de klas bij de presentatie speciale projecten vaak veel voorbereiding gelukkig kun soms nog pittige discussies en tijd vragen tijd die ik niet altijd heb je ook zorgen dat moet je natuurlijk als gelukkig kun je ook zorgen voor veel voor veel leerkracht ook sturen en be interactie in je lessen zonder veel moeilijke interactie in je geleiden heel boeiend en ingrepen lessen zonder uit dagend voor jezelf tot veel moeilijke hiertoe bestond de populatie vraagstukken aanbieden ingrepen bij de onderzoeken steeds uit de leerlingen van onze hier geef ik even een voorbeeld mee van een school omdat dat vooral praktisch het aantal vraagstukken waarbij je de leerlingen makkelijkst te organiseren en controleren in groepjes kunt laten werken als je de was voor mij maar je kunt deze opdracht vraagstukken nauwkeurig bekijkt zie je dat ook ruimer zien natuurlijk er telkens een aantal van dezelfde soort zijn met dezelfde oplossingsmethode als je op onze school werken we met een cyclus wil geef elke groep een reeks van van vier jaarthema s die in elke les maar ook vraagstukken om zich in te specialiseren in vakoverschrijdende projecten terug te daarna schuift er telkens een leerling door vinden zijn vandaar dat ik ook de opdracht naar de volgende groep om de opgedane statistiek daarin probeer in te passen en de expertise uit te wisselen keuzemogelijkheden qua onderwerp ietwat beperkt zijn ook dat kun je natuurlijk op deze manier vinden leerlingen opentrekken vraagstukken al een stuk plezanter en dat is nog belangrijker krijgen ze ook meer zelfvertrouwen door in gesprek te gaan over hoe ze het vraagstuk kunnen of moeten interactieve werkvormen in de aanpakken waar de fouten zitten hoe ze wiskundeles die kunnen wegwerken leren de leerlingen van en met elkaar hoewel het soms moeilijk om dagelijks taalgericht les te geven hoef je te meten is heb ik ook de indruk dat ze echt niet altijd op zoek te gaan naar exotische uiteindelijk de verschillende technieken werkvormen of heel je klas te verbouwen sneller en beter beheersen voorbeeld 1 o pdracht los volgende vraagstukken op 1 een vader is 20 jaar ouder dan zijn zoon james vijf jaar geleden waren ze samen 40 jaar oud hoe oud zijn ze nu 2 kim is tweemaal zo oud als kamal zeven jaar geleden waren ze samen zo oud als kim nu is hoe oud zijn kim en kamal nu oktober 2008 nummer 1 38e jaargang 34 3 nu is anja drie keer zo oud als haar zus mellany over drie jaar zal ze maar tweemaal zo oud zijn als mellany hoe oud zijn de zussen nu 4 een moeder van 33 jaar heeft twee kinderen een van 4 jaar en een van 2 jaar over hoeveel jaar zal ze dubbel zo oud zijn als haar twee kinderen samen 5 een vader is vijfmaal zo oud als zijn zoon abdel vijf jaar geleden was de leeftijd van abdel een negende van die van zijn vader hou oud zijn ze nu 6 een getal bestaat uit twee cijfers waarvan de som 12 is verwisselt men de cijfers van plaats dan bekomt men een getal dat 15 meer is dan het dubbel van het oorspronkelijke getal bepaal dit getal 7 van een natuurlijk getal is het cijfer van de tientallen het viervoud van het cijfer van de eenheden de som van de cijfers is 10 welk getal is het 8 van een natuurlijk getal is het cijfer van de eenheden gelijk aan 5 2 van het cijfer van de tientallen verwisselt men de cijfers van plaats dan bekomt men een getal dat 27 meer is dan het oorspronkelijke getal bepaal het oorspronkelijke getal 9 de som van twee cijfers van een getal is 9 neemt men 1 3 van dat getal dan vindt men 5 meer dan wanneer men 1 9 neemt van het getal met de cijfers in omgekeerde volgorde over welk getal gaat het 10 het cijfer van de eenheden van een getal met twee cijfers is het dubbel van dat van de tientallen voegt men 36 bij het getal dan vindt men een getal met dezelfde cijfers welk is het oorspronkelijke getal 11 mohamed c neemt een stapeltje speelkaarten en legt de kaarten in hoopjes van 4 er schiet een kaart over dan legt hij ze in hoopjes van 5 hij houdt zo 2 kaarten over er zijn ook 2 hoopjes meer van 4 dan van 5 kaarten hoeveel kaarten heeft mohamed c 12 anja wil snoepjes verdelen onder haar vrienden geeft ze elke vriend 5 snoepjes dan blijven er 2 snoepjes over wil zij elke vriend 6 snoepjes geven dan heeft ze 1 snoepje te kort hoeveel vrienden heeft anja bereken ook hoeveel snoepjes ze heeft 13 als zakaria de leerlingen van zijn klas in groepjes van 4 plaatst dan blijven er 2 over plaatst hij ze in groepjes van 3 dan blijft er maar 1 leerling over maar zijn er 2 groepen meer hoeveel leerlingen zitten er in de klas van zakaria 14 een partij appelen wordt door hayat in kratten van 140 stuks verpakt gebruikt zij kratten van 154 appels dan spaart ze 10 kratten uit hoeveel appelen zijn er 38e jaargang nummer 1 oktober 2008 35 afwezige of nieuwe leerlingen opvangen kennis en denken gestructureerd over te brengen via taal je koppelt zo perfect in grote steden wisselen er na de wiskundige doelstellingen aan meer talige kerstexamens altijd relatief veel leerlingen lesdoelstellingen uiteindelijk bleek deze van school ook onze school kent in januari interactieve les ook voor de leerlingen echt dus wel wat instroom van leerlingen van wel een succes onze nieuwe leerling ging andere scholen andere netten vorig naar huis met een samenvatting van de schooljaar had ik met de leerlingen uit vijf leerstof gemaakt door zijn medeleerlingen uur wiskunde waar het tempo mede door en met mijn cursus uiteraard moest hij thuis de kleine groep vrij hoog lag al een groot nog wel wat inhalen en oefeningen maken stuk van complexe getallen gezien na de maar het leek niet meer zo onoverkomelijk kerstvakantie was ik net begonnen met grappig detail is dat achteraf bleek dat deze vierkantsvergelijkingen in c toen iemand les abdel zelf heel goed was bijgebleven hij van het secretariaat een nieuwe leerling naar had zich op deze manier gesteund en mijn klas bracht na een kort gesprekje bleek welkom gevoeld en had de gemiste leerstof dat deze jongen nog niets van deze leerstof in een recordtempo kunnen assimileren had gezien daar was ik uiteraard niet op sindsdien gebruik ik deze manier van werken voorbereid en het is niet evident om dat zo regelmatig als afwezige leerlingen terug in meteen op te vangen de klas komen bijvoorbeeld je zit daar met een leerling die middenin het leerlingen tekeningen grafieken constructies schooljaar van school en klas wisselt dat is al laten beschrijven een grote aanpassing met zo n pak onbekende leerstof is de kans groot dat zijn heel dankbaar om interactief met taal bezig moed en motivatie snel zakt dat risico wou te zijn is tekeningen grafieken constructies ik niet nemen maar uiteraard kun je ook de laten beschrijven een leerling krijgt de rest van de klas niet zomaar aan hun lot tekening en beschrijft wat er op zijn blad overlaten we zijn toen met z n allen rond staat aan een tweede leerling deze laatste abdel gaan zitten in het midden van de tafel probeert de tekening dan te reconstrueren heb ik een paar grote bladen papier gelegd nadien kunnen beide leerlingen dan in en het nodige schrijfgerief bedoeling was discussie gaan over waar het fout is gelopen dat we de nieuweling zo snel mogelijk hoe ze beter hadden kunnen communiceren zouden bijwerken elke leerling moest om waar het misverstand zat de beurt een stukje van het verhaal van complexe getallen zowel mondeling als onderwerpen om deze techniek toe te schriftelijk toelichten ik stuurde bij waar passen vind je genoeg hieronder slechts nodig was zo bouwden we de leerstof enkele voorbeelden samen terug op abdel moest na elk stukje p transformaties uitleg minstens een vraag stellen p grafieken van functies p grafische voorstellingen bij statistiek door deze gesprekken over de leerstof p ruimtelijke figuren konden beide partijen kennis verwerven in p situaties met vlakken rechten en punten de wiskunde doordat ik de les bij wijze van in de ruimtemeetkunde spreken door abdel zijn medeleerlingen liet p tekeningen bij meetkundige vraagstuk geven werden ze gedwongen om hun ken oktober 2008 nummer 1 38e jaargang 36 p omzetting van korte uitdrukkingen in kruiswoordraadsels wiskundetaal bv het dubbele van een getal drie meer dan het viervoud ik werk ook regelmatig met kruiswoord van raadsels die kun je in de klas in grotere p groepjes in teams laten oplossen ik ben altijd verbaasd hoe gedreven leerlingen je kunt deze manier van werken zelfs worden als er zo wat competitie aan te pas aanwenden om leerlingen attent te maken komt of laat ze gewoon alleen of per twee op het belang van het gebruik van de juiste aan een bank werken als je de nodige hard terminologie laat hen elkaar bijvoorbeeld en software hebt kun je de leerlingen zelf eens een opgave dicteren met wortels op het einde van elk hoofdstuk een machten breuken haken in het verschil kruiswoordraadsel voor elkaar laten op tussen de opgave op papier en de gedicteerde stellen ook op testen of examens durf ik of genoteerde versie kan soms enorm zijn kruiswoordraadsels gebruiken om de kennis daar schrikken ze dan wel van en schenken van een aantal begrippen te testen soms maar heel even maar kom wat meer aandacht aan het juiste woordgebruik voorbeeld 2 kruiswoordraadsel 38e jaargang nummer 1 oktober 2008 37 van links naar rechts van boven naar onder 4 deze haakjes noemen we 1 delen door nul is 5 het resultaat van een aftrekking heet 2 de straal van de goniometrische cirkel is gelijk 9 in de meetkunde stelt a een voor aan 10 r2h is de inhoudsformule van een 3 vierhoek met een paar overstaande zijden 11 de sinus van 90 is gelijk aan 6 rechte haken gebruiken we voor de 13 a b b a omdat de vermenigvuldiging is notatie bij de oplossingsverzameling van 14 de familiernaam van je wiskundeleerkracht is ongelijkheden 7 nul gedeeld door vijf is 15 hoeken die samen 180 vormen zijn 8 minst efficiente manier om een stelsel op te 17 symbool van de verzameling van de rationale lossen getallen 12 hoe heet de a in xa 18 hoek waarvan de twee benen samenvallen 13 de scherpe hoeken van een rechthoekige 20 het symbool betekent dan driehoek zijn hoeken 23 1 is minuten 16 de stelling van pythagoras geldt in 24 hoeken die samen 180 vormen en een been driehoeken gemeenschappelijk hebben 17 het resultaat van een deling noemen we 25 de scherpe hoeken van een rechthoekige 19 het symbool betekent dan driehoek vormen samen graden 21 de voornaam van je wiskunde leerkracht is 26 het bekendste irrationale getal 27 je kunt een functie voorstellen door een grafiek 22 cijfertjes die je gaat optellen om een som te een functievoorschrift of een verkrijgen aandacht voor de context probleemoplossend denken niet alleen taalzwakke re leerlingen zullen een goed idee is ook om bij vraagstukken en sneller en beter leren als je aandacht hebt statistiek voorbeelden proberen te zoeken voor de context uit de eigen leefwereld van je leerlingen heb ik ervaren als je spreekt over een recent verzamelingenleer onderzoek naar koopkracht hoe interessant ook dan zullen leerlingen uit humane weten aandacht hebben voor context wil zeggen schappen bijvoorbeeld niet meteen dolen dat je de leerstof in een ruimer kader plaatst thousiast zijn laat hen echter zelf op zoek praat samen met hen over wat ze al weten gaan naar een onderzoek in verband met uit andere vakken of uit het dagelijks leven in jongeren of jongerencultuur in de krant op verband met het onderwerp uit jouw wis het internet of in hun tijdschriften en ze kundeles ik voeg als bijlage 2 een klein stuk vinden het plots wel boeiend om alles te je toe uit mijn cursus over verzamelingen weten over populatie steekproef enz bepaalde begrippen lijken in de wiskunde zo ver van hun bed te zijn terwijl ze de ook bij het maken en aanbieden van beteke nis ervan eigenlijk al wel kennen vraagstukken probeer ik hierop te letten maar ze leggen zelf niet de link met ons begrijp me niet verkeerd elk probleem hoeft vakge bied echt niet te gaan over gsm s je mag hun oktober 2008 nummer 1 38e jaargang 38 leefwereld best ook wel wat open trekken in klasgesprekken kun je opdrachten en hun wat achtergrondinformatie geven nauwkeuriger gaan bekijken samen met de zo wordt een vraagstuk over een onderwerp leerlingen praten over de betekenis van dat voor hen aanvankelijk vaktermen maar ook van alledaagse onbekend of vreemd was woorden laat de leerlingen zeggen wat ze misschien wel uitdagend begrijpen wat niet stimuleer hen om eerst sta er wel op dat of zinvoller om op te los zelf na te denken over wat iets zou kunnen de leerlingen de sen betekenen welk woord horen ze erin zaken correct eventueel een frans of engels woord verwoorden je voert als leerkracht re gel matig ook gewone ge ik merk dat je op die manier sommige sprek jes met je leerlingen leerlingen sterk kunt motiveren hun buiten de leerstof ook succeservaringen kunt geven maar ook hard hier uit kun je heel veel inspiratie halen om werkt aan hun taalvaardigheid sta er wel op vraagstukjes op te stellen met je leerlingen in dat de leerlingen de zaken correct de hoofdrol verwoorden laat medeleerlingen aanvullen en verbeteren en stuur ook zelf regelmatig verbanden met andere vakken en voorkennis bij als je hoort dat een leerling het wel goed bedoelt maar het fout formuleert help hem het is belangrijk dat leerlingen verbanden dan geef zelf de correcte formulering of zien en leggen tussen de verschillende geef een stukje van een zin en laat verder vakken op school en ze moeten de bij jou aanvullen geleerde technieken ook spontaan gaan gebruiken tijdens andere lessen om dat te stimuleren ben ik bij te veel werk collega s biologie fysica het is een chemie aardrijkskunde misverstand eco no mie uit de twee tot slot wil ik benadrukken dat het een om te denken de graad eens gaan rond misverstand is om te denken dat taalgericht dat taalgericht vragen welke formu les ze vakonderwijs synoniem is voor te veel werk vakonderwijs in de loop van het school het is gewoon een andere manier van synoniem is voor jaar gebruiken met dat lesgeven een andere didactische aanpak te veel werk overzicht ga ik dan aan de die enorm veel voordelen heeft slag bij het inoe fenen van omvormen van formules als je eigen materiaal wil gaan maken dan zo wordt het allemaal wat con creter voor de moet je natuurlijk wat tijd investeren dat leerlingen klopt zo ben ik momenteel bezig met het maken van een dominospelletje deze keer door met hen te praten hen te betrekken bij niet met stipjes maar met functievoorschriften de les merken ze ook dat ze een heleboel grafieken functiewaardetabellen en namen begrippen uit de les wiskunde vaak al kennen van functies heel plezant maar ik heb eerlijk of de betekenis ervan zelf kunnen achter gezegd al wel wat zitten puffen en heb heel halen gebruik die voorkennis ook ik denk even ook gedacht els waar ben je nu weer dan bijvoorbeeld aan frequentie modus aan begonnen maar ik ben er zeker van commutatief dat als ik het enthousiasme van de leerlingen 38e jaargang nummer 1 oktober 2008 39 zie hen hoor discussieren over welk bewust van het belang van woordenschat dominosteentje waar niet past hen zodat je leerlingen kunt ondersteunen en ze spelenderwijs de leerstof zie verwerken ik al niet vastlopen op enkele woorden dat werk en mogelijke bezwaren snel zal vergeten ik hoop in elk geval dat je snel de voordelen ontdekt van taalgericht lesgeven probeer en weet dat je ook perfect met bestaand gewoon zelf eens een paar lessen uit en jij en materiaal aan de slag kunt in de klas als je je leerlingen worden vast even enthousiast maar de nadruk legt op voortdurende als ik ik wens je veel succes en hopelijk interactie tussen jou en de leerlingen en ontmoeten we elkaar eens om ervaringen uit tussen de leerlingen onderling blijf je ook te wisselen els sas koninklijk atheneum antwerpen els sas scarlet be g r o f g e s c h u d els sas leerkracht wiskunde wat vooral belangrijk is bij het starten met taalgericht vakonderwijs is dat je kritisch bent dat je bereid bent tot zelfevaluatie en dat je vooral geen dingen gaat doen die je niet meteen liggen zet stappen op jouw manier in onderdelen waar je je goed en zeker bij voelt en werk traag maar zeker je doet waarschijnlijk onbewust al zaken die taalgericht zijn werk die verder uit experimenteer daarmee en denk in termen van anders en meer geschikt uit de hert w red 2008 taalbeleid in de praktijk een uitdaging voor elke secundaire school mechelen plantyn oktober 2008 nummer 1 38e jaargang