Wiskunde-onderwijs 10 tot 14

ed de moo r extra hindernissen bij de overstap wiskunde onderwijs 10 tot 14 21 bij de overgang van bo naar vo wordt er naast de waardering voor taalvaardigheden vooral gelet op de rekencijfers van de leerling voor meer inzicht in bewerkingen en het toepassen van reken vaardigheden pleit de schrijver voor een didactiek die parallel loopt met de von visie voor moedertaal de aansluitingsproblemen tussen procenten en breu ken van de basisschool en de wiskunde in de brugklas kunnen opgelost worden door een andere leerstofordening en meer aandacht voor reflectie op eigen en andermans reke nen de schrijver ed de moor is vanuit de stichting opleiding leraren sol betrokken bij het 80 vo project amersfoort inl ei din g 16 1 6 4 7 2 3 bij de aansluitingsproblematiek basisonderwijs 4 3x voortgezet onderwijs bovo stuit men vanzelf redelijk goed had uitgewerkt mocht hij nog een op de kwestie van de eindtermen voor het bo en aantal redactiesommen trachten op te lossen de daarbij behorende toetsingsproblematiek in het eerste vraagstuk luidde het kader van de bovo cursus te amersfoort een auto rijdt met een snelheid van 72 km per werden daartoe de zogenoemde voortgangstoet uur hoe lang rijdt deze auto over een afstand sen voor rekenen dit zijn toetsen die gedurende van 1 8 km het vijfde en zesde leerjaar worden afgenomen bestudeerd ik deed iets wat niet mag ik maakte peters a n twoord luidde 4 minuten een van de enveloppen open waarin het werk van de kinderen van 1980 zat daarna analyseerde ik de andere vraagstukken die ook alle oplossingen de opgaven maar vooral de gemaakte fouten van te zien gaven waarbij maar iets met de gegeven die ene leerling die ik voor het gemak peter getallen gedaan werd laat ik nu achterwege noem het vraagstuk werd door verschillende deelne nadat peter een blad vol breukensommen zoals mers van de werkgroep in de klassepraktijk her 191 haald het resultaat was onthullend en teleurstel ontdekken tussen de sommen over procenten lend in een klas kwamen 24 van de 30 leerlingen breuken decimale getallen en verhoudingen op met foute antwoorden zoals 4 minuten 4 uur de lagere school en de wiskunde in het vo met en 1296 72×18 minuten of uren 1 verzamelingen letterrekenen en spiegelen op de ontsteltenis onder de werkgroepsleden onder vele scholen voor vo wordt op het rekenen niet wijsgevenden uit bo en vo was groot de klach teruggekomen in feite wordt verondersteld dat ten van de vo docenten dat er te weinig aan de lagere schoolstof afgerond is door leerlingen dacht zou bestaan in het bo voor de rekenvaar gekend wordt en niet vergeten op z n vroegst digheid verbleekten toen men de rijen en rijen wordt op rekenen pas weer een beroep gedaan sommen zag waarmee de kinderen dag in dag uit aan het eind van de brugklas wanneer lineaire oefenen vergelijkingen met gebroken coefficienten aan de maar ook de bo docenten waren verbaasd dat orde komen dan worden vaak klachten gehoord hun eindeloze inspanningen de kinderen het reke als de leerlingen hebben geen rekenvaardigheid nen bij te brengen zo weinig effect bleken te heb een gebrekkig getalbegrip en te gering inzicht in ben wanneer er een eenvoudige toepassing werd de bewerkingen nog sterker wordt gebrek aan gevraagd rekenvaardigheid ervaren bij de natuurkundeles dit ene voorbeeld tijdens bedoelde bovo cursus sen in het tweede leerjaar en bij andere vakken gaf meer reden om over vorm en inhoud van het waar gerekend moet worden zoals bij handels reken wiskunde onderwijs na te denken dan kennis en aardrijkskunde theoretische uiteenzettingen over doelstellingen eindtermen leertheorieen etc rekenen is ook wis kunde ik zal proberen deze realistische aanpak ook hierna te blijven volgen er wordt veelal een onderscheid gemaakt tussen rekenen en wiskunde vooral in nederland wordt h et aansluitproblee m deze tweedeling benadrukt op de universiteit of nieuwe lerarenopleiding word je opgeleid tot voor rekenen wiskunde is het aanslu i tprobleem wiskundeleraar op de pedagogische academie levensgroot er gaapt een immen s gat tussen het kun je onderwijzer zoals dat nu nog steeds heet rekenen op de lagere school en de wiskunde van worden en daar leer je dan ook hoe je rekenen de brugklas er valt geen enkele continuite it te moet onderwijzen dit ondanks het feit dat me n 80 rekenen 1 vermenigvuldigen 0 125 0 375 3 8 7 5 3 056 1 009 3 x 2 4 x 5 9 x 2 6 4 7 x 0 27 0 345 8 37 5 16 x 12 x is x 18 x 24 x 2 onder elkaar 3 r 1 37 8 7 7 i 0 25 16 x 3 465 5 c 8 25 6 x 0 045 16 3 16 45 i 4 9 8 i 9 7 9 2 862 5 7 275 215 x 8 15 7 x 0 345 7 x 0 24 3 8 x 0 006 24 x 9 765 3 onder elkaar f 14 37 118 2 i 0 75 21 8 3 456 8 0 f 10 10 f 25 375 0 375 j o s f 2 7 5 i200 9 7 3 45 8 l 2 1 9 5ii j 5 0 7 j 0 05 16 2 5 1 6 2 5 192 w v w lu wnoup f on4 i l zeslord zd fbllond spaege t 4 0 grenst aan g r cnst aan fig 4a fi g 4 b v v p 1 1 n m 11 100 pot namen we wordt geschre v en mei cijfers vo maak pij diagrammen van relaties van v naar w zijn de relaties functiee l op de meeste pa s al sinds jaren over wiskunde h t f en didactiek spreekt 723 700 20 3 de wiskundeleraar heeft in zijn opleiding over 7 2 3 het algemeen weinig of niets van rekendidactiek gezien maar hij zij wordt door de onderwijzer de 3 geeft voor z n positie de eenheden e aan van de basisschool die meestal weinig van de wis de 2 de tientallen t en de 7 de honderdtallen kunde van het vo weet wel als de expert gezien h die weet te bepalen wat de kinderen allemaal dit positiesysteem dat ook de kommagetallen moeten kennen en kunnen of tot het echte werk omvat is de basis van ons getallen en rekensys toegelaten te kunnen worden rekenen wordt teem hierin inzicht verwerven rraar ook het in daarbij vaak beschouwd als iets dat je even onder zichtelijk leren opereren in dit systeem leidt tot de knie moet krijgen dus zoiets als fietsen of echte mathematische activiteiten autorijden zo kan de beschouwing van de vermenigvuldiging dit komt voort uit de gedachte dat rekenen 23 x 37 vanuit de oorspronkelijke betekenis 37 slechts een verzameling een aantal blinde algorit 37 37 37 37 23 maal via steeds verder men zou zijn een algoritme is een vast voor gaande verkortingen het inzicht in het standaard schrift dat altijd tot het gewenste resultaat leidt algoritme her bewust maken let hierbij vooral en dat ook zonder begrip uitgevoerd kan worden op de belangrijke x10 eigenschap waardoor de denk bijvoorbeeld aan de staartdeling cijfers in positie naar links verschuiven en een nul dit is een misvatting waarvan men zou kunnen op de plaats van de eenheden verschijnt hopen dat ook onderwijsgevenden uit het bo hem zouden kunnen bestrijden 23 x 37 de wiskunde begint bij het getal de mens is zo 37 inventief geweest om voor het noteren en reke nen met getallen een slim systeem te bedenken dit systeem ook wel tiendelig positiestelsel ge 37 t v noemd is gebaseerd op twee principes 1 telkens worden groepjes van tien gebundeld 3 en als volgt ingewisseld 0 tien eenheden een tienta l tien tientallen een honderdtal etc 2 het toekennen van een waarde aan een plaats positie van een cijfer in een getal van herhaald optellen naar standaardalgoritme 193 naast het cijferen is het toepassen van het reke en de vraag of hij overeenkomst ziet tussen het nen zoals bij de redactie opgaven maar ook bij verdeelvraagstuk en het breukensommetje le het meten en het maken van grafieken een stapje vert als antwoord op het gaat allebei over breu hoger in de wiskunde ken 1 inzicht en vaardighei d dergelijke kleine steekproeven in de brugklas over de kennis van het rekenen leiden tot de con o pnieuw een bov o vraag clusie dat de klachten hierover niet altijd onte recht zijn in een ideaal reken wiskundeprogram kle ur de helft ma zou inzicht voorop moeten staan wanneer de arceer daarvan deel kinderen een bepaalde vaardigheid inzichtelijk hebben verworven zou deze ook verder inzichte vul in 3 deel van 2 deel dee l lijk geoefend moeten worden dit betekent niet dat er op een bepaald moment niet automatisch gecijferd zou kunnen worden maar in principe zou men altijd naar de bron van het inzicht moe ten kunnen terugkeren zo zou men zich kunnen voorstellen dat de staartdeling aan de hand van een context inzich telijk aangeleerd wordt dus werkelijk als herhaal de aftrekking waarbij we een aantal niveaus van een brugklasleerling havo vwo doet dit fout verkortingen kunnen onderscheiden loos als hem daarna gevraagd word t 1 x 1 3 2 uit te rekenen gaat dit als volgt 3 2 6 6 6 van herhaald aftrekken naar standaardalgoritme er gaan 1572 supporters snee naar ajvx anderlecht in elke b us gaan 48netsoneri q g 5i 2 v 2 960 lj f 1 yyo 4 00 x is2y 109 1 d s y8 0 ior y oo 10 9 j 612 13 2 y8 y gv jo 91 iy s8 13 2 3i gb 6 3 r 32x 194 deze verkortingen kunnen langzamerhand door een doosje bevat 5 appels hoeveel in 2 dozen de kinderen zelf verworven worden steeds houd je in de gaten wat het delen precies betekent en een sportfiets heeft voor 2 bladen achter 5 rade het gaat tenslotte niet meer om het delen op ren hoeveel verschillende versnellingen zich elke staartdeling kan tenslotte met een zak rekenmachine uitgevoerd worden belangrijk h et appelvraagstukje levert 5 x 2 appels o p je daarbij is juist dat je het antwoord vooraf kunt ziet ze zo voor je schatten en weet wat het delen betekent in dit m aar bij het tellen van het aantal versnellingen geva 132 x 48 36 1572 ligt de vermenigvuldigingsstructuur in het geheel niet zo voor de hand nu is het aantal aan te leren vaardigheden voor het basisonderwijs vrij groot en men werkt met heterogene groepen waarin de zwakkere leerlin o b c gen maar voort moeten om alle eindtermen te ha len en juist die zwakkere leerling komt vaak niet verder dan de staartdeling kommagetallen breu ken en procenten worden op die manier en voor leerling en voor onderwijsgevende een martel gang toch rekent men er in het vo nog steeds op dat alle kinderen alles gehad hebben en beheersen dit legt een fikse druk op het basisonderwijs als gevolg wordt tegen het einde van de basisschool 2 x 5 appel s hoofdzakelijk gewerkt op het aanleren van blinde algoritmen vooral de breukenleergang is dan meestal niet meer dan een labyrinth van onbegre pen recepten soms levert dit nog wel enkele schijnresultaten op maar helaas worden dan in o een later stadium vooral door de zwakkere leer lingen allerlei regels door elkaar gehaald r e ke n e n een a lgor itmische aanpa k oo0 als gevolg van de scheiding van rekenen bo en 2 x 5 versnellingen wiskunde vo blijft de leerstof een dwingend harnas voor het bo komt daar nog eens bij dat toch zou men nog kunnen geloven dat ook al de differentiatie en individualisering een hoge dergelijke toepassingsvraagstukken te systemati prioriteit in de onderwijsorganisatie genieten dan seren zijn en dan gebeurt wat zich in een groot is het begrijpelijk dat er naar methoden wordt ge deel van onze scholen afspeelt de leerstof wordt zocht de leerstof in zo overzichtelijk mogelijke in vraagstukken soort bij soort opgedeeld steeds leerstappen te ordenen verder gefragmenteerd en het onderwijs zo nu lijkt rekenen daar bij uitstek geschikt voor lo men daar nog van kan spreken voltrekt zich gisch wiskundig is dat juist de samenhang tussen hoofdzakelijk schriftelijk optellen en aftrekken laat de ene operatie uit de de kinderen krijgen aldoor maar pagina s vol met andere volgen uit herhaald optellen volgt verme dezelfde sommen voorgeschoteld vrijwel steeds nigvuldigen delen is niets anders dan herhaald af wordt zo snel mogelijk op een algoritme dat suc trekken ces op korte termijn kan verzekeren aange zo simpel is dat stuurd er is een dwingende werkwijze welke elk maar wat logisch wiskundig zo gestructureerd is eigen initiatief tegengaat een flexibele houding hoeft in psychologische zin niet aan dezelfde kan zo niet ontstaan zelfs bevordert deze aanpak wetten te gehoorzamen bekijk bijvoorbeeld eens een a wiskundige attitude de kinderen worden de twee volgende vraagstukjes systeemafhankelijk en blijken het geleerde in ee n 195 andere setting niet te kunnen toepassen boorbeelde n de onderwijsgevende wordt tot administrateur 1 x 5 x 6 x 5 6 x 30 sl iir 30 gedegradeerd bij de zwakkere leerlingen kan hij 2 x 3 x 7 4x 21 want 3 7 oen 3 7 21 zij essentiele fouten niet meteen boven water ha 3 n 6 a 8 al 2a 48 len omdat de kinderen op grond van hun te ge ringe scores volgens het organisatiemodel meteen naar een lager niveau worden gedirigeerd 5 x j 3y x 6y x 3xy 18 y en doordat de leerlingen aldoor maar schriftelijk in lussen door de stof gestuurd worden en als maar op dezelfde sommen oefenen kan het zijn dat sommige leerlingen vanaf een bepaald punt b ereke n nooit meer verder komen de motivatie tot re 1 a s 1 0 z 4 c x 10 x 8 kenen is dan meestal wel helemaal tot nul gere 6 x r 7 s 3 f z 7 x 9 duceerd c x 9 x i g x t 16 x 5 d s 5 x t 12 h x 1 7 s 8 wiskunde voordoen nadoen 2 a a 4 a 13 e x 2y x 3y b a sxa 19 l s t 7y x 4y na het basisonderwijs worden de kinderen in hun c a 15 a 14 b x 1 lyn x 6y hokjes geplaatst lbo mavo havo vwo op a l d i e d a 8 a 9 h s isynx 3y scholen wordt wiskunde gegeven soms nog wat rekenen de geschiedenis herhaalt zich ook hier weer een enorme nadruk op algoritmen die nauwelijks ook in het vo bestaat er een grote belangstelling toegepast kunnen worden zo ze al toe te passen voor gedifferentieerd onde rwijs met de bijbeho zijn rende individuele werkvormen ook dat gebeu rt grotendeels schriftelijk er is een groot verschil met het bo voor veel helaas geven die schoolboeken die rekenboeken kinderen houdt deze martelgang na drie jaar op heten te zijn voor het vo weinig hoop dat er wanneer ze wiskunde kunnen laten vallen niet naar een zinvoller reken wiskunde onderwijs toe zelden komen dergelijke leerlingen later op een pa en moeten daarna zelf rekenen gaan onderwij gewerkt zou worden zen siaah c h gc nc l e lc f dli en v oor oe breuk o an dez e cehsf ebuif hal em oorzaken discontinuiteit o u er zijn tal van oorzaken te noemen voor het ont 7 1 9 7 k i l j 8 z e b 0 p 9 2 7 6 staan van de discontinuiteits gap binnen bo en vo ik som er een aantal op zonder volledig te willen zijn de tijd dat kinderen tot dertien jaar school maan v s o n n volq n ro a r0 1 0 plichtig waren is nog niet zo lang geleden voor s 31 velen hield daarmee het onderwijs op of je nu wel of geen breuken kon optellen we zitten nog steeds met een traditionele leer 1 stofordening welke in feite berust op het oude koopmansrekenen hoewel niet door de overheid bepaald kun nen we toch van min of meer dwingende eindter ook hier treffen we weer dezelfde nadruk op al men spreken goritmische vaardigheden die op een soortgelijke omdat de eindtermen de inhoud van de leer wijze worden aangeboden als in het basisonder boeken bepalen verstarren deze leerboeken wijs er is binnen bo en vo weinig kennis van el waar met wiskunde gestart wordt zien we veelal kanders vakgebied de methode voordoen en nadoen gehanteerd het rekenonderwijs wordt vaak als een techni 196 sche aangelegenheid gezien het is produktge 48 35 45 35 3 richt je moet alleen vlot en vaardig kunnen cijfe tracht zoveel mogelijk een flexibel rekengedrag ren daardoor is er te weinig ruimte voor begrips te doen ontstaan dit kan alleen door de ver vormende activiteiten en vooral voor het ontwik schillende aanpakken met de kinderen te bespre kelen van een wiskundige attitude ken het wiskunde onderwijs in het vo laat de mo 24 x 39 39 x 24 40 x 24 24960 24 936 gelijkheden om aan te sluiten bij datgene waar 24 x 39 12 x 78 6 x 156 3 x 312×963 dit men op de lagere school is gestopt liggen in het soort rekenpraatlessen zijn geen hoofdrekenles algemeen wordt er in het vo op een veel abstrac sen in de ouderwetse zin van het woord het gaat ter niveau ingestapt waarbij de rekenkennis van om de reflecties op de verschillende oplossings het basisonderwijs ternauwernood nog een rol methoden naar aanleiding van een eenvoudige re van betekenis speelt kenopgave er wordt te geringe aandacht besteed aan de wie bijvoorbeeld bij de opgave 10 x 2 4 automa didactiek van dit gebied zowel in de opleiding als tisch tot het onder elkaar cijferen terugvalt dit de nascholing gebeurt echt er is nog geen praktisch werkbaar systeem 2 4 ontwikkeld om het differentiatieprobleem op te 10 lossen 00 aanzetten tot oplossingen 24 0 er kan het is al eerder opgemerkt geen forse 24 0 stap tot oplossing van de aansluitproblematiek zou opnieuw bewust gemaakt moeten worden gemaakt worden indien de leerstof voor reke van de x 10 eigenschap wie bij 10 000 1 een af nen wiskunde 4 tot 14 jarigen niet opnieuw ge trekking onder elkaar gaat maken zou op de or ordend wordt dit zou vooral nodig zijn om iets dening van de getallen gewezen kunnen worden aan het differentiatieprobleem te kunnen doen de bedoeling van dit soort lessen is het ontwikke immers het gaat in hoofdzaak om de zwakkere len van een goed gevoel voor getallen en voor het leerlingen die juist het rekenen zo nodig hebben opereren met getallen tevens zouden de betere leerlingen al vroeger ga ook eens van een getal uit voor uitdagender problemen dan de afgetrapte bedenk zoveel mogelijk over 72 bommenrijtjes van de meeste huidige leerboeken het vergelijken van de verschillende vondsten van gesteld kunnen worden de kinderen kan een openbaring zijn hoewel een dergelijke leerstofordening nog op 72 is eve n geen enkele wijze in het verschiet ligt kunnen er 72 2 x 36 3 x 24 8 x 9 ook thans verbeteringen aangebracht worden als 72 is deelbaar door 2 3 9 de reken wiskundeproblematiek vanuit de didacti 72 70 2 36 36 sche hoek aangepakt zou worden etc etc ik noem hier enkele mogelijkheden allereerst kortom doorbreek het systeem van het louter voor het rekenonderwijs op de basisschool schriftelijk rekenen en tracht van het rekenen een er zou minder nadruk op het schriftelijk re meer sociale bezigheid te maken kenen moeten komen te liggen zorg dat de kin er kan veel meer aandacht besteed worden deren vooral goed uit het hoofd kunnen rekenen aan begripsmatige zaken alvorens tot algoritmi en schattingen kunnen maken bevorder hun ei sering over te gaan er zijn door het voormalige gen rekenwijzen want het is maar een idee dat iowo afdeling wiskobas leergangen voor het het leerproces zich zou moeten voltrekken zoals cijferen ontwikkeld die bewezen hebben dat dit wij volwassenen dat uitgedacht hebben mogelijk is hoewel het niet gemakkelijk is zo n vraag hoe 48 35 uitgerekend wordt en je leergang in een traditionele methode te plaatsen zult versteld staan rekenen betekent niet dat er louter en alleen 48 35 78 5 83 met getallen gewerkt wordt 48 35 50 33 83 visualiseren en modellen zijn een krachtig hulp 48 35 50 40 2 5 middel voor het rekenen en de wiskunde zij zij n 197 als het ware een verbinding tussen de gewone taal uitgewerkt het verhoudingsblok is daartoe een en de formele wiskunde taal daarom zou het uitermate geschikt model gebruik van visualiseringsmiddelen zoals de getal lenlijn en het honderdveld en modellen zoals de de franse franc kost vandaag hfl 0 40 strook en het verhoudingsblok veel meer aan hoeveel francs krijgje voor fl 150 7 dacht verdienen laten we nog een keer terugkeren naar het som metje uit de i nleiding frila1c5 1 i j ruu l 00 5 0 zso lt 2 75 een auto rijdt met een snelheid van 72 km per gu oei s oq 9 9u bu to i u su isu uur hoe lang rijdt hij over 18 km stel dat de leerling hierb ij een strook waaraan hij twee grootheden afstand en tijd kan koppe len tot zijn beschikking had gehad het oefenen kan niet alleen speelser aangebo den de verschillende gevarieerde oefenvormen die gedurende de laatste decennia zijn ontwik 7 i keld openen ook mogelijkheden tot het zien van verbanden soms zelfs tot wiskundige activiteiten bekijk daartoe eens de volgende pijlendiagram vraagstukken 1 y3t xj welk een eenvoud en wat een heldere oplossings y wijze 9 of beschouw de volgende context vul in wat betekenen de pijlen telefoneren tussen twee zones kost 16 cent per 3 4 minuu t het eerste diagram kan als oefening ingevuld wor hoeveel kost een telefoongesprek van een kwar den elke stap horizontaal naar rechts betekent tier tussen amsterdam en maastricht 4 verticaal naar boven x3 je wordt niet gedwongen tot ingewikkelde breuk delingen als je de tijdlijn ziet aflopen en daarop de 3 4 minuten afpast kte 1 fl vier 3 4 minuten vullen dr i e minuten er gaat dus twintig keer een 3 4 minuut in vijftien minu ten je ziet het zo verhoudingen worden in het bo maar magertjes en geisoleerd aangeboden toch kan dit onder deel vooral naar de toepassingen toe veel rijke r 198 aldus ontstaat de volgende invulling door het omkeren van een 4 pijl ontstaat de x4 pijl zo wordt de samenhang tussen verme nigvuldigen en delen als elkaars omgekeerde be werkingen aan de orde gesteld het zal niet moei r vil 36 1 9 lijk zijn nu ook de betekenissen van de andere pijlen te vinden 3 4g z 3 er zou een grotere zingeving voor het reken onderwijs kunnen ontstaan als er meer aandacht besteed werd aan toepassingen men kan daarbij 16 i 1 t denken aan actuele gebeu rtenissen maar ook aan meetpractica of projecten heel wat van dergelij ke aanpakken zijn beschreven in een aantal wis q kobas publikaties het interessante is nu dat we via twee routes van 16 naar 12 kunnen komen 4 16 x3 48 12 of 16 4 4 x1 2 we zien dus dat de volgorde van deze twee be zo is het mogelijk naar aanleiding van dit krante werkingen kennelijk niet van belang is vragend bericht het procentbegrip nog eens grondig aan naar de betekenis van de schuine pijl kunnen we de orde te stellen het procentrekenen is een bij opmerken dat de twee bewerkingen tot een be uitstek toepasbaar onderdeel van het reken wis werking samengesteld kunnen worden kundeonderwijs ook in het vo helaas komt dit onderwerp aan het eind van de basisschool 3 dusdanig in de verdrukking dat veel kinderen x daardoor geen idee hebben van procenten laat 16 4j 1 2 staan dat ze ermee kunnen rekenen juist allerlei kranteberichten zijn heel geschikt om het nut van we zien hieraan hoe het vermenigvuldigen van procenten te verhelderen bovendien bieden der een geheel getal met een breuk eenvoudig opge gelijke berichten ook aanknopingspunten voor splitst kan worden in een vermenigvuldiging ge problemen van algemener aard volgd door een deling of omgekeerd wellicht blijven we bij de reken wiskundige problematiek werpt dit een nieuw licht op de zogenoemde weg dan biedt dit bericht ook mogelijkheden allerlei streeprege l leuke denkvragen te stellen zoals kun je iets zeg gen over het percentage van de huishoudens dat 4 3 x116 zowel een kleurentelevisie als een zwart wit tele 12 visie bezit tenminste 14 8 procent en hoe staat het met het percentage huishoudens waar helemaal geen televisie voorkomt ten hoogste 24 2 procent tenslotte zou het bo ook niet hoeven te schromen enkele wiskundige elementen aan het rekenonderwijs toe te voegen heel geschikt daar toe is onder meer zie je wel een pakketje infor mele meetkunde de omgeving verkennend lere n 199 de kinderen essentiele begrippen over rechte lij inpassingsproblemen in het programma nen en het afbeelden van de ruimte op foto s en onderwijstijd tekeningen de kinderen worden daarbij uitge organisatorische kwesties docententijd daagd de verschijnselen te verklaren door middel daarbovenop komt de noodzaak van gezamenlij van taal ke studie dit is ons gebleken tijdens de bovo cursus te amersfoort op deze cursus zijn wij allen werkzaam op het gebied van het reken wis kundeonderwijs zowel in het bo als alle typen van het vo tot een aantal constateringen geko k i drie tekeningen van t landschap gezien uit een ri j dende trein men welke in het voorgaande zijn neergelegd de bevinding dat het niveau van de leerlingen aan het eind van de basisschool enorm varieert heeft de trein rijdt in deze richting ons ertoe gebracht ook aan het rekenen in het wat is de goede mlgorde van de tekeningen vo aandacht te blijven besteden er zijn thans enkele experimentele leergangetjes van een remedierend karakter ontwikkeld op het het begrijpen van de ons omringende ruimte in gebied van breuken kommagetallen procenten casu het veranderende beeld vanuit een rijdende verhoudingen en schaal trein is aldus een voorbeeld van echte realiteits voor het bo zijn aanwijzingen voor de onder gebonden meetkunde wijsgevende beschreven met het doel de verhou de algemene strekking van voornoemde punten dingstabel als didactisch hulpmiddel te gaan ge kan men ook van toepassing laten zijn op het wis bruiken kunde onderwijs in het vo ook hier zou dienen de studie over verhoudingen een onderwerp dat te gelden niet alleen vele onderwerpen van het rekenen minder nadruk op schriftelijk werk meer aan bindt maar ook van groot belang is voor de wis dacht voor reflectie op eigen en andermans leren kunde natuurkunde scheikunde en aardrijkskun minder nadruk op louter algoritmisch wer de blijft een belangrijk item ken meer aandacht voor begripsverwervende ac naast het rekenkundige aspect wordt ook ge tiviteiten tracht wat meer wiskundige elementen aan het grotere aandacht voor visualiseringen en mo onderwijs toe te voegen de meetkundige onder delgebruik werpen zoals het eerder genoemde zie je wel meer variatie in oefeningen en verpakkingen blijken daartoe voor de basis meer aandacht voor toepassingen school heel geschikt ook wordt onderzocht in bovendien zou het vo mee kunnen werken aan hoeverre andere werkvormen groepswerk uit een aanzet tot oplossing van het aansluitingspro voerbaar zijn bleem door aandacht te schenken aan de volgen de zaken de problematiek in z n totaliteit naast rekenen voortzetting van het rekenen in het vo het wiskunde zijn ook groepen voor taal zaakvakken onderhouden van de rekenvaardigheid en expressie bezig is nog lang niet opgelost en herbewustmaking van vroeger geleerde zaken dan te bedenken dat we al bijna drie jaar bezig positiestelsel vermenigvuldiging en staartdeling zijn wij hopen nog enige tijd te kunnen door samenhang breuken binnen kommagetallen en gaan verhoudingen etc wiskundige activiteiten starten vanuit reken wil men de aansluiting echt plaats doen vinden problemen dan zijn goede samenwerkingsverbanden het integratie met andere vakken zoals aardrijks liefst ondersteund door deskundigen een eerste kunde en natuurkunde voorwaarde dit kost tijd moeite en geld maar het zou het ten volle waard zijn omdat het gaat nu is dit allemaal gemakkelijk neergeschreven in om een zo grote groep van leerlingen die in een de praktijk blijkt men tegen tal van praktische zo kritieke fase van hun leven zijn moeilijkheden op te lopen zoals leerplanmakers voor het komende voortgezet beschikbaarheid van materiaal onderwijs let op deze zaak 200